Question

4．如圖所示，虛線框abcd內(nèi)為邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)的正方形勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E、方向向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外，PQ為其分界線，一質(zhì)量為m、電荷量為-e的電子（重力不計(jì)）從PQ中點(diǎn)與PQ成30°角以某一初速度射入磁場(chǎng)．
（1）若要電子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，求其初速度v應(yīng)滿足的條件；
（2）若要電子在滿足（1）中的條件下且以最大速度進(jìn)入磁場(chǎng)，求最終從電場(chǎng)aP邊界飛出虛線框所具有的動(dòng)能E_km．

Answer 1

分析 （1）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)求半徑和初速度v應(yīng)滿足的條件；
（2）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理即可列式求解；

解答 解：要電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，則電子必須從PQ邊就電場(chǎng)，如圖：由左手定則可知，電子進(jìn)入磁場(chǎng)后受到的洛倫茲力的方向向左，當(dāng)電子的軌跡與Pb邊相切時(shí)，由符合條件的最大速度，由幾何關(guān)系得：
$r+rsin30°=\frac{1}{2}L$
又洛倫茲力提供向心力，得：$evB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
整理得：$v=\frac{eBL}{3m}$
所以當(dāng)$v≤\frac{eBL}{3m}$時(shí)，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)．
（2）以進(jìn)入磁場(chǎng)，從電場(chǎng)的aP邊界飛出，電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得：
$eE（\frac{L}{2}-\frac{L}{3}）={E}_{km}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：${E}_{km}=\frac{1}{6}eEL+\frac{{e}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{18m}$

答：（1）若要電子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，其初速度v應(yīng)滿足的條件是$v≤\frac{eBL}{3m}$；
（2）最終從電場(chǎng)aP邊界飛出虛線框所具有的動(dòng)能是．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過(guò)受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，熟練掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式，難度適中．