(20分)如題圖所示,在半徑為a的圓柱空間中(圖中圓為其橫截面)充滿磁感應強度大小為B的均勻磁場,其方向平行于軸線遠離讀者.在圓柱空間中垂直軸線平面內固定放置一絕緣材料制成的邊長為L=1.6a的剛性等邊三角形框架ΔDEF,其中心O位于圓柱的軸線上.DE邊上S點()處有一發(fā)射帶電粒子的源,發(fā)射粒子的方向皆在圖題圖中截面內且垂直于DE邊向下。發(fā)射粒子的電量皆為q(>0),質量皆為m,但速度v有各種不同的數(shù)值。若這些粒子與三角形框架的碰撞無能量損失,電量也無變化,且每一次碰撞時速度方向均垂直于被碰的邊。試問:

(1)帶電粒子經(jīng)多長時間第一次與DE邊相碰?

(2)帶電粒子速度v的大小取哪些數(shù)值時可使S點發(fā)出的粒子最終又回到S點?

(3)這些粒子中,回到S點所用的最短時間是多少?

 

 

(1) 

(2)            

(3)                                

 

解析:解:

(1)帶電粒子(以下簡稱粒子)從S點垂直于DE邊以速度v射出后,在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動

 (1分)  得        ①(1分)

粒子在磁場中做圓周運動的周期為:   (1分)

將①式代入,得:                 ②(1分)

粒子第一次與DE邊相碰:         (2分)

(2)帶電粒子(以下簡稱粒子)從S點垂直于DE邊以速度v射出后,在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動,其圓心一定位于DE邊上,粒子每次與ΔDEF的三條邊碰撞時都與邊垂直,且能回到S點,如題解圖所示,粒子運動軌跡圓的圓心一定位于Δ的邊上,粒子繞過Δ頂點D、E、F時的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點(即D、E、F)上。、的長度應是Rn的奇數(shù)倍即:

 (=1,2,3,…)                 ③(2分)

此時為Rn的奇數(shù)倍的條件自然滿足。

而粒子要能繞過頂點與Δ的邊相碰,則粒子作圓周運動的半徑R不能太大,如圖題解圖,

必須有:                    ④(2分)

 

由圖中的幾何關系計算可知:

           ⑤(1分)

1,2,3,…,分別代入③式,得

            

           

由于R1,R2,這些粒子在繞過Δ的頂點E時,將從磁場邊界逸出,只有n≥4的粒子能經(jīng)多次碰撞繞過E、F、D點,最終回到S點.由此結論及①、③兩式可得與之相應的速度:

                     ⑥(4分)

(3)由②可知,在B及q/m給定時Tv無關。粒子從S點出發(fā)最后回到S點的過程中,與Δ的邊碰撞次數(shù)愈少,所經(jīng)歷的時間就愈少,所以應取n=4,如題解圖所示(圖中只畫出在邊框DE的碰撞情況),此時粒子的速度為v4,由圖可看出該粒子的軌跡包括3×13個半圓和3個圓心角為300°的圓弧,所需時間為:  ⑦(3分)

以②式代入得:                                           ⑧(2分)

 

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1
6
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1
3
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