Question

【題目】在物理學(xué)中，常常用等效替代、類比、微小量放大等方法來研究問題．如在牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律一百多年后，卡文迪許利用微小量放大法由實(shí)驗(yàn)測出了萬有引力常量G的數(shù)值，如圖所示是卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)示意圖．卡文迪許的實(shí)驗(yàn)常被稱為是“稱量地球質(zhì)量”的實(shí)驗(yàn)，因?yàn)橛蒅的數(shù)值及其它已知量，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量，卡文迪許也因此被譽(yù)為第一個(gè)稱量地球的人．

（1）若在某次實(shí)驗(yàn)中，卡文迪許測出質(zhì)量分別為m1、m2相距為r的兩個(gè)小球之間引力的大小為F，求萬有引力常量G；
（2）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，請(qǐng)推導(dǎo)出地球質(zhì)量及地球平均密度的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)萬有引力定律有：

解得：

答：萬有引力常量為

（2）解：設(shè)地球質(zhì)量為M，在地球表面任一物體質(zhì)量為m，在地球表面附近滿足：

得地球的質(zhì)量為：M=

地球的體積為：V=

解得：地球的密度為：

答：地球質(zhì)量為 ，地球平均密度的表達(dá)式為

【解析】根據(jù)萬有引力定律 ，化簡可得萬有引力常量G；

在地球表面附近的物體受到重力等于萬有引力 ，可以解得地球的質(zhì)量M，地球的體積為V= ，根據(jù)密度的定義 ，代入數(shù)據(jù)可以計(jì)算出地球平均密度．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的萬有引力定律及其應(yīng)用，需要了解應(yīng)用萬有引力定律分析天體的運(yùn)動(dòng)：把天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬有引力提供.即 F引=F向；應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓�式進(jìn)行分析或計(jì)算.②天體質(zhì)量M、密度ρ的估算才能得出正確答案．