Question

3．如圖所示為研究電子槍中電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化模型示意圖．在Oxy平面的ABCD區(qū)域內(nèi)，存在兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)大小均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ，兩電場(chǎng)的邊界均是邊長(zhǎng)為a的正方形（不計(jì)電子所受重力）．

（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，求電子 離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置．
（2）在電場(chǎng)Ⅰ區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)，求所有釋放點(diǎn)的位置．
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)Ⅱ整體水平向右移動(dòng)$\frac{a}{n}$（n≥1），仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)（D不隨電場(chǎng)移動(dòng)），求在電場(chǎng)Ⅰ區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置．

Answer 1

分析 （1）在AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，電場(chǎng)力對(duì)電子做正功，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子穿過(guò)電場(chǎng)時(shí)的速度．進(jìn)入電場(chǎng)II后電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出電子的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子先在電場(chǎng)Ⅰ中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出位置x與y的關(guān)系式．
（3）電子釋放，在電場(chǎng)I中加速到v₂，進(jìn)入電場(chǎng)II后做類平拋運(yùn)動(dòng)，在高度為y′處離開(kāi)電場(chǎng)II時(shí)的情景與（2）中類似，然后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用動(dòng)能定理、類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系結(jié)合解答．

解答 解：（1）設(shè)電子的質(zhì)量為m，電量為e，電子在電場(chǎng)I中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，出區(qū)域I時(shí)的速度為v₀，此后在電場(chǎng)II中做類平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)電子從CD邊射出，出射點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，有：eEa=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
 $\frac{a}{2}$-y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{a}{{v}_{0}}）^{2}$     
解得：y=$\frac{1}{4}$a
所以原假設(shè)成立，即電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)為（-2a，$\frac{1}{4}$a）
（2）設(shè)釋放點(diǎn)在電場(chǎng)區(qū)域I中，其坐標(biāo)為（x，y），在電場(chǎng)I中電子被加速到v₁，然后進(jìn)入電場(chǎng)II做類平拋運(yùn)動(dòng)，并從D點(diǎn)離開(kāi)，有：
eEx=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{a}{{v}_{1}}）^{2}$
解得：xy=$\frac{1}{4}{a}^{2}$       即在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)滿足該函數(shù)的點(diǎn)即為所求位置．
（3）設(shè)電子從（x，y）點(diǎn)釋放，在電場(chǎng)I中加速到v₂，進(jìn)入電場(chǎng)II后做類平拋運(yùn)動(dòng)，在高度為y′處離開(kāi)電場(chǎng)II時(shí)的情景與（2）中類似，然后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，則有eEx=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
  y-y′=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{a}{{v}_{2}}）^{2}$
  y′=${v}_{y}•\frac{a}{n{v}_{2}}$
可得 $\frac{y-y′}{a}$=$\frac{1}{2}•\frac{{v}_{y}}{{v}_{2}}$
解得：xy=${a}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$
即在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)滿足該函數(shù)的點(diǎn)即為所求位置
答：（1）電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)為（-2a，$\frac{1}{4}$a）．
（2）在電場(chǎng)Ⅰ區(qū)域內(nèi)滿足方程xy=$\frac{1}{4}{a}^{2}$的點(diǎn)即為所有釋放點(diǎn)的位置．
（3）在電場(chǎng)Ⅰ區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置滿足方程xy=${a}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)際是加速電場(chǎng)與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的組合，對(duì)于加速往往根據(jù)動(dòng)能定理研究速度．對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究．要有分析和處理較為復(fù)雜的力電綜合題的能力．