Question

6．如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B；在x軸下方有沿y軸負方向的勻強電場，場強為E．一質量為m，電量為-q的粒子從坐標原點O沿著y軸正方向射出．射出以后，它第三次到達x軸時，與點O的距離為L．不計粒子重力，求：
（1）粒子射出時的速度v
（2）粒子從射出以后第三次到達x軸所用的總時間
（3）若粒子從射出以后到第n次向下穿過x軸所用的總時間為t_n，寫出t_n的表達式．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直進入勻強磁場，受洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動，在電場中受到電場力，做往復運動，即勻減速運動到零再返回．作出粒子運動的軌跡，結合軌道半徑求出粒子在磁場中運動的速度．
（2）由牛頓第二定律和運動學公式結合求出電場中運動時間，根據(jù)圓周運動的周期求解磁場中的運動時間，即可 得到總時間．
（3）根據(jù)歸納法，尋找規(guī)律，得到時間的表達式．

解答 解：（1）粒子在勻強磁場中，靠洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動（半周）．

粒子在電場中，受電場力，做往復運動，勻減速到零后勻加速返回．
運動軌跡如圖，因為第三次到達x軸時，它與點O的距離為a，則有：L=4R
設粒子初速度為v，洛倫茲力提供向心力，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：v=$\frac{BqL}{4m}$
（2）粒子在電場作勻減速運動，加速度為a=$\frac{qE}{m}$
運動時間為 t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{BL}{2E}$
粒子在磁場中運動時間是一個周期，為 t₂=T=$\frac{2πm}{Bq}$
故t=$\frac{2πm}{Bq}$+$\frac{BL}{2E}$
（3）粒子從射出以后到第n次向下穿過x軸時，磁場中運動時間為 n$•\frac{T}{2}$
電場中運動時間為 （n-1）t₁；
故總時間為 t_n=n$•\frac{T}{2}$+（n-1）t₁=$\frac{nπm}{Bq}$+$\frac{（n-1）BL}{2E}$，n=1，2，3，…
解：
（1）粒子射出時的速度v為$\frac{BqL}{4m}$．
（2）粒子從射出以后第三次到達x軸所用的總時間為$\frac{2πm}{Bq}$+$\frac{BL}{2E}$．
（3）t_n的表達式為 t_n=$\frac{nπm}{Bq}$+$\frac{（n-1）BL}{2E}$n=1，2，3，…

點評 解決本題的關鍵知道粒子在電場和磁場中的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解，注意第三次到達x軸時，在磁場中形成兩個半圓，容易誤認為形成三個半圓．