Question

12．如圖所示，AD與A₁D₁為水平放置的無限長(zhǎng)平行金屬導(dǎo)軌，DC與D₁C₁為傾角為θ=37°的平行金屬導(dǎo)軌，兩組導(dǎo)軌的間距均為l=1.5m，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)．質(zhì)量為m₁=0.35kg、電阻為R₁=1Ω的導(dǎo)體棒ab置于傾斜導(dǎo)軌上，質(zhì)量為m₂=0.4kg、電阻為R₂=0.5Ω的導(dǎo)體棒cd置于水平導(dǎo)軌上，輕質(zhì)細(xì)繩跨過光滑滑輪一端與cd的中點(diǎn)相連、另一端懸掛一輕質(zhì)掛鉤．導(dǎo)體棒ab、cd與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．整個(gè)裝置處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T．初始時(shí)刻，棒ab在傾斜導(dǎo)軌上恰好不下滑．（g取10m/s²，sin37°=0.6）
（1）求導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）在輕質(zhì)掛鉤上掛上物體P，細(xì)繩處于拉伸狀態(tài)，將物體P與導(dǎo)體棒cd同時(shí)由靜止釋放，當(dāng)P的質(zhì)量不超過多大時(shí)，ab始終處于靜止?fàn)顟B(tài)？（導(dǎo)體棒cd運(yùn)動(dòng)過程中，ab、cd一直與DD₁平行，且沒有與滑輪相碰．）
（3）若P的質(zhì)量取第（2）問中的最大值，由靜止釋放開始計(jì)時(shí)，當(dāng)t=1s時(shí)cd已經(jīng)處于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，求在這1s內(nèi)ab上產(chǎn)生的焦耳熱為多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)ab棒受力分析，沿斜面方向上由平衡條件列方程求解；
（2）對(duì)ab棒，在沿斜面方向和垂直斜面方向建立平衡方程；對(duì)cd棒，根據(jù)平衡條件列方程，聯(lián)立求解ab始終處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)P的質(zhì)量；
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律求解勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小，對(duì)P、ab棒和cd棒，由能量守恒定律求解ab棒上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）對(duì)ab棒受力分析，受豎直向下的重力，垂直于斜面向上的支持了和沿斜面向上的摩擦力作用，在沿斜面方向上由平衡條件得：
m₁gsinθ-μm₁gcosθ=0
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.75；
（2）當(dāng)P的質(zhì)量最大時(shí)，P和cd的運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，P和cd一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，ab處于靜止?fàn)顟B(tài)，但摩擦力達(dá)到最大且沿斜面向下．設(shè)此時(shí)電路中的電流為I
對(duì)ab棒，由平衡條件，
沿斜面方向上有：BILcosθ-m₁gsinθ-μN(yùn)=0
垂直于斜面方向上有：N-BILsinθ-m₁gcosθ=0
對(duì)cd棒，設(shè)繩中的張力為T，由平衡條件得：T-BIL-μm₂g=0
對(duì)P，由平衡條件得：Mg-T=0
聯(lián)立以上各式得：M=1.5Kg    
故當(dāng)P的質(zhì)量不超過1.5Kg時(shí)，ab始終處于靜止?fàn)顟B(tài)；
（3）設(shè)P勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，由法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律得：
Blv=I（R₁+R₂）        
代入數(shù)據(jù)得：v=2m/s           
對(duì)P、棒cd，由牛頓第二定律得：
Mg-μm₂g-B$\frac{Bl{v}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}l$=（M+m₂）a
兩邊同時(shí)乘以△t，并累加求和，可得：
Mgt-μm₂gt-B$\frac{Bls}{{R}_{1}+{R}_{2}}l$=（M+m₂）v
解得：s=$\frac{41}{30}$m
對(duì)P、ab棒和cd棒，由能量守恒定律得：
Mgs=μm₂gs+Q+$\frac{1}{2}$（M+m₂）²
代入數(shù)據(jù)解得：Q=12.6J     
在這1s內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的焦耳熱為Q₁=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q=8.4J．
答：（1）求導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.75；
（2）在輕質(zhì)掛鉤上掛上物體P，細(xì)繩處于拉伸狀態(tài)，將物體P與導(dǎo)體棒cd同時(shí)由靜止釋放，當(dāng)P的質(zhì)量不超過1.5Kg時(shí)，ab始終處于靜止?fàn)顟B(tài)．
（3）若P的質(zhì)量取第（2）問中的最大值，由靜止釋放開始計(jì)時(shí)，當(dāng)t=1s時(shí)cd已經(jīng)處于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在這1s內(nèi)ab上產(chǎn)生的焦耳熱為8.4J．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．