Question

如圖所示，在水平面OB上有一A點(diǎn)，已知OA=L．現(xiàn)在從A點(diǎn)以初速度v₀射出一小球，在不被傾角為α（α＜45°）的OC面板彈回的前提下，問：
（1）若小球射出時(shí)的角度θ=45°，為使得小球能射到最遠(yuǎn)，小球射出時(shí)的初速度v₀應(yīng)為多大？
（2）若小球射出時(shí)的初速度v₀已知，且大于第（1）小題中所得的結(jié)果，為使小球能射到最遠(yuǎn)，小球射出時(shí)的角度θ應(yīng)為多大？

Answer 1

分析：（1）小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線，要使小球能射到最遠(yuǎn)，小球軌跡與直線OC相切，故將拋物線方程與直線方程聯(lián)立方程組后，方程組只有一個(gè)解，據(jù)此求初速度的值．
（2）與上問同理，整理可得小球射出時(shí)的角度θ

解答：解：（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)為：
x=v₀tcosθ，y=v₀tsinθ-

1

2

gt²，
代入得：y=xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

，
OC線方程：y=（x+L）tanα，
聯(lián)立可得：xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

=（x+L）tanα，
取θ=45°，得：

gx2

v 2 0

+（tanα-1）x+Ltanα=0，
為使小球以45°拋出能實(shí)現(xiàn)射程最遠(yuǎn)而不被OC面板彈回，小球拋射軌跡應(yīng)與斜面OC相切，即方程只有一個(gè)解，
即：△=（tanα-1）²-

4gL

v 2 0

tanα=0，
解得：v₀=

4gLtanα (tanα-1)2

，
（2）當(dāng)v₀＞

4gLtanα (tanα-1)2

時(shí)，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)為：x=v₀tcosθ，y=v₀tsinθ-

1

2

gt²，
代入得：y=xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

，
OC線方程：y=（x+L）tanα，
聯(lián)立可得：xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

=（x+L）tanα，
為使小球以θ角拋出能實(shí)現(xiàn)射程最遠(yuǎn)而不被OC面彈回，必有θ＞α，小球拋射軌跡應(yīng)與斜面OC相切，可得判別式：△=（tanα-tanθ）²-

4gL

v 2 0 cos2θ

tanα=0，
即sin²（α-θ）-

gL

v 2 0

sin2α=0，
因?yàn)棣龋睛粒�所以�?α+sin^-1

gLsin2α

v0

．
答：（1）小球射出時(shí)的初速度v₀應(yīng)為

4gLtanα (tanα-1)2

，
（2）小球射出時(shí)的角度θ應(yīng)為α+sin^-1

gLsin2α

v0

．

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是：能夠挖掘出“不被傾角為α（α＜45°）的OC面板彈回”的隱含信息為小球拋射軌跡應(yīng)與斜面OC相切；能進(jìn)行三角函數(shù)變換