Question

8．在豎直平面內(nèi)固定一個(gè)半圓形軌道ABC，半徑為R，如圖所示，A、C兩點(diǎn)的連線水平，B為軌道最低點(diǎn)．其中AB部分是光滑的，BC部分是粗糙的．有一個(gè)質(zhì)量為m的乙物體靜止在B處，另一個(gè)質(zhì)量為4m的甲物體從A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，甲物體運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)為與乙物體發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短，碰撞后結(jié)合成一個(gè)整體，甲乙構(gòu)成的整體滑上BC軌道，最高運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，OD與OB連線的夾角θ=60°．甲、乙兩物體可以看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，求：
（1）甲物體與乙物體碰后的瞬時(shí)速度及在碰撞過(guò)程中乙物體所受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力．
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中，摩擦力對(duì)其做的功．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)甲物體在A到B過(guò)程機(jī)械能守恒求得碰撞前速度，然后由動(dòng)量守恒求得碰撞后的瞬時(shí)速度，即可由動(dòng)量定理求得乙物體的沖量；
（2）根據(jù)碰撞后的瞬時(shí)速度，由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）對(duì)物體從B到D應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得摩擦力做的功．

解答 解：（1）甲物體從A到B過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以，甲物體碰撞前的速度為v₀，則有：$4mgR=2m{{v}_{0}}^{2}$，所以，${v}_{0}=\sqrt{2gR}$；
甲、乙兩物體碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，故碰撞后物體的瞬時(shí)速度為v，則有：4mv₀=5mv，所以，$v=\frac{4}{5}{v}_{0}=\frac{4}{5}\sqrt{2gR}$；
那么，由動(dòng)量定理可知：碰撞過(guò)程中乙物體所受到的沖量$I=△p=m△v=mv=\frac{4m}{5}\sqrt{2gR}$；
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，在豎直方向上只受重力、支持力作用，故應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-5mg=5m\frac{{v}^{2}}{R}=\frac{32}{5}mg$，所以，${F}_{N}=\frac{57}{5}mg$；
那么，由牛頓第三定律可知：甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力為$\frac{57}{5}mg$，方向豎直向下；
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中，只有摩擦力和重力做功，故由動(dòng)能定理可得：${W}_{f}-5mg（R-Rcosθ）=0-\frac{1}{2}×5m×{v}^{2}$；
所以，${W}_{f}=5mgR（1-cosθ）-\frac{5}{2}m{v}^{2}$=$-\frac{7}{10}mgR$；
答：（1）甲物體與乙物體碰后的瞬時(shí)速度為$\frac{4}{5}\sqrt{2gR}$，在碰撞過(guò)程中乙物體所受到的沖量為$\frac{4m}{5}\sqrt{2gR}$．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力為$\frac{57}{5}mg$，方向豎直向下；
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中，摩擦力對(duì)其做的功為$-\frac{7}{10}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 物體碰撞過(guò)程，內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，且作用時(shí)間極短，那么對(duì)于碰撞中的任一物體來(lái)說(shuō)外力的沖量對(duì)于內(nèi)力的沖量可以忽略，故只考慮內(nèi)力的沖量，那么對(duì)碰撞的兩個(gè)物體來(lái)說(shuō)則可近似認(rèn)為動(dòng)量守恒．