Question

14．如圖所示．一只一端封閉的粗細均勻的玻璃管開口向上，用一段長度為h的水銀柱密封一定童的理想氣體，玻璃管靜止時氣柱長度為L（圖甲）．現(xiàn)將該玻璃管從傾角為θ的斜面頂端由靜止釋放，并沿斜面向下運動（圖乙）．已知玻璃管與斜面之間的動摩擦因數(shù)為μ．水銀密度為ρ．重力加速度為g，大氣壓強為p₀，氣體溫度不變，斜面足夠長．求：
（i）玻璃管豎直靜止時，氣體的壓強；
（ii）玻璃管在斜面上運動時，玻璃管內(nèi)氣柱的長度．

Answer 1

分析 （1）對水銀柱進行受力分析，結(jié)合共點力的平衡即可求出氣體的壓強；
（2）玻璃管沿斜面運動的過程中做勻加速直線運動，設(shè)出加速度，將受力分析與牛頓第二定律結(jié)合，求出水銀柱的加速度的表達式，進而求出氣體的壓強，最后由玻意耳定律求出氣體的長度．

解答 解：（1）設(shè)玻璃管豎直放置時氣體的壓強為P₁，水銀柱受到重力、大氣壓力與氣體對水銀柱的向上的壓力，由力的平衡得：
P₀S+mg=P₁S  ①
又：mg=ρV=ρSh  ②
聯(lián)立①②得：P₁=P₀+ρgh  ③
（2）玻璃管沿斜面運動的過程中做勻加速直線運動，設(shè)加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
得：a=g（sinθ-μcosθ）
設(shè)玻璃管在斜面上運動的過程中氣體的壓強是P₂，氣柱的長度是L′，研究水銀柱的受力的情況，根據(jù)牛頓第二定律得：
P₀S+mgsinθ-P₂S=ma
解得：P₂=P₀+ρgh•μcosθ
由玻意耳定律：P₁L=P₂L′
解得：$L′=\frac{（{P}_{0}+ρgh）L}{{P}_{0}+μρgh•cosθ}$
答：（i）玻璃管豎直靜止時，氣體的壓強是P₀+ρgh；
（ii）玻璃管在斜面上運動時，玻璃管內(nèi)氣柱的長度$\frac{（{P}_{0}+ρgh）L}{{P}_{0}+μρgh•cosθ}$．

點評 利用理想氣體狀態(tài)方程解題，關(guān)鍵是正確選取狀態(tài)，明確狀態(tài)參量，尤其是正確求解被封閉氣體的壓強，這是熱學中的重點知識，要加強訓練，加深理解．