Question

13．如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜＜R，有一質量m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速射入圓管．小球在最高點c點時與管的作用力大小為$\frac{1}{2}$mg，求小球從c點離開管后落地AB面上的落點距離B點的距離是多少？

Answer 1

分析 分兩種情況：小球在最高點C點時，上管壁對小球有向下的作用力F和下管壁對小球有向上的作用力F，利用牛頓第二定律求出在最高點的速度，在利用平拋運動的規(guī)律求小球從C點離開管后落地AB面上的落點距離B點的距離．

解答 解：當小球在最高點C點時，上管壁對小球有向下的作用力F時，
由牛頓第二定律可得：F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，即：$\frac{1}{2}$mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$
小球從C點飛出后做平拋運動，
水平方向上：x₁=v₁t₁
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt₁²
聯立解得：x₁=$\sqrt{3}$R；
同理，當小球在最高點c點時，下管壁對小球有向上的作用力F時，
由牛頓第二定律可得：mg-F=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，即：mg-$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
小球從C點飛出后做平拋運動，
水平方向上：x₂=v₂t₂
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt₂²
聯立解得：x₂=R．
答：小球從c點離開管后落地AB面上的落點距離B點的距離是$\sqrt{3}$R或R．

點評 對于小球在管子里的運動情形與輕桿模型類似，關鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點時，速度為零，知道在最高點的向心力等于合外力．特別是題干只告訴小球在最高點C點時與管的作用力大小，有可能是上管壁，也可能是下管壁，應分兩種情況分析．