Question

13．如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜＜R，有一質(zhì)量m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速射入圓管．小球在最高點(diǎn)c點(diǎn)時(shí)與管的作用力大小為$\frac{1}{2}$mg，求小球從c點(diǎn)離開管后落地AB面上的落點(diǎn)距離B點(diǎn)的距離是多少？

Answer 1

分析 分兩種情況：小球在最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，上管壁對(duì)小球有向下的作用力F和下管壁對(duì)小球有向上的作用力F，利用牛頓第二定律求出在最高點(diǎn)的速度，在利用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求小球從C點(diǎn)離開管后落地AB面上的落點(diǎn)距離B點(diǎn)的距離．

解答 解：當(dāng)小球在最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，上管壁對(duì)小球有向下的作用力F時(shí)，
由牛頓第二定律可得：F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，即：$\frac{1}{2}$mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$
小球從C點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向上：x₁=v₁t₁
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt₁²
聯(lián)立解得：x₁=$\sqrt{3}$R；
同理，當(dāng)小球在最高點(diǎn)c點(diǎn)時(shí)，下管壁對(duì)小球有向上的作用力F時(shí)，
由牛頓第二定律可得：mg-F=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，即：mg-$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
小球從C點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向上：x₂=v₂t₂
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt₂²
聯(lián)立解得：x₂=R．
答：小球從c點(diǎn)離開管后落地AB面上的落點(diǎn)距離B點(diǎn)的距離是$\sqrt{3}$R或R．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于小球在管子里的運(yùn)動(dòng)情形與輕桿模型類似，關(guān)鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，知道在最高點(diǎn)的向心力等于合外力．特別是題干只告訴小球在最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)與管的作用力大小，有可能是上管壁，也可能是下管壁，應(yīng)分兩種情況分析．