Question

1．如圖所示，兩個(gè)邊長(zhǎng)均為l的正方形區(qū)城ABCD和EFGH內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．DH上方有足夠長(zhǎng)的豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一帶正電的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為q，以速度v從B點(diǎn)沿BC方向射人勻強(qiáng)電場(chǎng)．已知三個(gè)區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等．且E=$\frac{m{v}^{2}}{ql}$，今在CDHE區(qū)域內(nèi)加上合適的垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．粒子經(jīng)過該磁場(chǎng)后恰能從DH的中點(diǎn)豎直向上射人電場(chǎng)，粒子的重力不計(jì)，求：
（1）所加磁場(chǎng)的寬度$\overline{DH}$；
（2）所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)變大小；
（3）粒子從B點(diǎn)射入到從EFGH區(qū)城電場(chǎng)射出所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在ABCD中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)軌跡可以求出磁場(chǎng)寬度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）分別求出粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在ABCD區(qū)域做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：l=vt，
加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{{v}^{2}}{l}$，
豎直方向：d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{{v}^{2}}{l}$（$\frac{l}{v}$）²=$\frac{1}{2}$l，
粒子射出ABCD區(qū)域時(shí)沿場(chǎng)強(qiáng)方向的速度：v_y=at=$\frac{{v}^{2}}{l}$×$\frac{l}{v}$=v，
速度偏向角：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=1，θ=$\frac{π}{4}$，
粒子從$\overline{DH}$中點(diǎn)豎直向上射入電場(chǎng)，由幾何知識(shí)得：
$\overline{OD}$=$\frac{1}{2}$l，${\overline{OD}}^{2}$+$（{\frac{l}{2}）}^{2}$=R²，
解得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}l$，
R=$\overline{OD}+\frac{1}{2}\overline{DH}$，
解得：$\overline{DH}$=（$\sqrt{2}$-1）l；
（2）粒子射入磁場(chǎng)的速度大小：v′=$\sqrt{2}$v，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{2mv}{ql}$；
（3）粒子在左電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{l}{v}$，
粒子在磁場(chǎng)中向上偏轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{\frac{π}{4}}{2π}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πl(wèi)}{8v}$，
粒子在上方電場(chǎng)中減速到零的勻速時(shí)間：t₃=$\frac{\sqrt{2}v}{a}$，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性可知，粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：
t=2（t₁+t₂+t₃）=$\frac{2l}{v}$（1+$\sqrt{2}$+$\frac{π}{8}$）；
答：（1）所加磁場(chǎng)的寬度$\overline{DH}$為：（$\sqrt{2}$-1）l；
（2）所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)變大小為：$\frac{2mv}{ql}$；
（3）粒子從B點(diǎn)射入到從EFGH區(qū)城電場(chǎng)射出所經(jīng)歷的時(shí)間為：$\frac{2l}{v}$（1+$\sqrt{2}$+$\frac{π}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的前提，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡后，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律可以解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．