Question

問題（一）：觀察函數y=

1

2

x2-x-4的圖象，填空：當函數值y＞0時，x的取值范圍是

 

；當函數值y＜0時，x的取值范圍是

 

．
問題（二）：已知二次函數y=（p-3）x²+（10-p²）x+q，當1＜x＜5時，函數值y為正，當x＜1或x＞5時，函數值y為負．
（Ⅰ）求二次函數的解析式；
（Ⅱ）設直線y=

1

2

x+1與二次函數的圖象交于點A、B．
（1）求點A、B的坐標，并在給定的直角坐標系中畫出直線及二次函數的圖象；
（2）設平行于y軸的直線x=t、x=t+2分別交線段AB于點E、F，交二次函數的圖象于點H、G（H、G不與A、B重合）．
①求t的取值范圍；
②是否能適當選擇點E的位置，使四邊形EFGH是平行四邊形？如果能，求出此時點E的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（一）看二次函數圖象與x軸的交點即可得到答案；
（二）（Ⅰ）根據x的取值范圍對應的函數值，可以知道函數圖象開口向下和與x軸的交點，由此得到兩個等式和一個不等式，解此可得自變量，那么函數解析式可得；
（Ⅱ）（1）把直線的解析式和二次函數的解析式組成一個方程組，解此方程組得A、B的坐標；
（2）①根據A、B的坐標確定t的取值范圍；
②求出EH和FG的距離，即可確定四邊形EFGH是平行四邊形，點E的坐標可求．

解答：解：（一）x＜-2或x＞4；-2＜x＜4；

（二）（Ⅰ）二次函數當1＜x＜5時，函數值為正，當x＜1或x＞5時函數值為負，說明二次函數圖象經過點（1，0）和（5，0）且開口向下，
即

(p-3)+(10-p2)+q=0 25(p-3)+5(10-p2)+q=0 p-3＜0.

，
解得p=2，q=-5，
∴二次函數的解析式為y=-x²+6x-5；

（Ⅱ）（1）解方程組

y= 1 2 x+1 y=-x2+6x-5

，
得點A、B的坐標分別為(

3

2

，

7

4

)、（4，3）．

（2）①由題意知

t＞ 3 2 t+2＜4

，
∴t的取值范圍是

3

2

＜t＜2．
②點E的縱坐標為

1

2

t+1，點H的縱坐標為-t²+6t-5，
EH=（-t²+6t-5）-（

1

2

t+1）=-t2+

11

2

t-6，
點F的縱坐標為

1

2

t+2，點G的縱坐標為-t²+2t+3，
FG=（-t²+2t+3）-（

1

2

t+2）=-t2+

3

2

t+1，
∵EH∥FG，
∴要使四邊形EFGH是平行四邊形，只要EH=FG，
即-t2+

11

2

t-6=-t2+

3

2

t+1，
解得t=

7

4

，滿足條件

3

2

＜t＜2．
∴當t=

7

4

時，四邊形EFGH是平行四邊形，
此時點E的坐標為(

7

4

，

15

8

)．

點評：此題考查了二次函數與一次函數的綜合運用，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點、拋物線與x軸和直線的交點，難度較大．