13.如圖甲所示,A、B為水平放置的間距d=2m的兩塊足夠大的平行金屬板,兩板間有場強(qiáng)為E=1V/m、方向有B指向A的均勻電場,一噴槍從A、B板的中央點P向水平面各個方向均勻地噴出初速度大小均為v0=10m/s的帶電微粒.已知微粒的質(zhì)量均為m=1.0×10-5kg、電荷量均為q=-1.0×10-3C,不計微粒間的相互作用、對板間電場和磁場的影響及空氣阻力,取g=10m/s2.求:

(1)微粒落在金屬板上所圍成的圖形面積.
(2)要使微粒不落在金屬板上,通過計算說明如何調(diào)節(jié)兩板間的場強(qiáng).
(3)在滿足(2)的情況下,在兩板間再加垂直于紙面向里的均與磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.1T,調(diào)節(jié)噴槍使微粒可以向紙面內(nèi)沿各個方向噴出(如圖乙),求B板被微粒打中的區(qū)域長度和微粒在磁場中運動的最短時間.

分析 (1)微粒落在金屬板上所圍成的圖形應(yīng)是圓形,微粒的初速度水平時,落在金屬板上的位置與P點的水平距離最遠(yuǎn),根據(jù)類平拋運動的規(guī)律解答.
(2)要使微粒不落在金屬板上,重力與電場力相平衡,微粒在水平面內(nèi)做勻速直線運動.由平衡條件解答.
(3)再加垂直于紙面向里的均勻磁場,重力與電場力相平衡,由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動,求出微粒的軌跡半徑,由幾何知識即可求解.

解答 解:(1)微粒落在金屬板上所圍成的圖形應(yīng)是圓形,設(shè)圓的半徑為R.
則R=v0t,$\frac{1}{2}d$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又 a=$\frac{qE+mg}{m}$=$\frac{1×1{0}^{-3}×1+1{0}^{-5}×10}{1×1{0}^{-5}}$=110m/s2
聯(lián)立解得:R=v0$\sqrt{\fracnjgqnqa{a}}$=$\frac{2}{11}\sqrt{55}$m
圖形面積為 S=πR2=π×($\frac{2}{11}\sqrt{55}$)2=$\frac{20π}{11}$m2
(2)要使微粒不落在金屬板上,應(yīng)使重力與電場力相平衡,微粒在水平面內(nèi)做勻速直線運動,所以兩板間的場強(qiáng)方向應(yīng)調(diào)為豎直向下,且有
  qE′=mg,E′=$\frac{mg}{q}$=$\frac{1×1{0}^{-5}×10}{1×1{0}^{-3}}$V/m=0.1V/m
(3)再加垂直于紙面向里的均勻磁場,重力與電場力相平衡,由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動,由 qv0B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得
  r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{1×1{0}^{-5}×10}{1×1{0}^{-3}×0.1}$m=1m
豎直向下射出的油漆微粒打在B板的左端恰好與B板相切:d2=1m
當(dāng)粒子源和B板右邊擊中點距離為直徑時距離最遠(yuǎn):d1=$\sqrt{{r}^{2}-(\fraczb1ffw2{2})^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$m=$\sqrt{3}$m
故B板被微粒打中的區(qū)域長度為 L=d2+d1=(1+$\sqrt{3}$)m
當(dāng)粒子運動的圓弧直徑最短時,粒子運動的時間最短,
故根據(jù)題意可知,當(dāng)粒子恰好擊中粒子源正下方的B板處時間最短,根據(jù)距離和半徑的關(guān)系可知軌跡對應(yīng)的圓心角為60°,
所以tmin=$\frac{T}{6}$=$\frac{1}{6}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{1}{3}×\frac{π×1{0}^{-5}}{1{0}^{-3}×0.1}$s=$\frac{π}{30}$s
答:
(1)微粒落在金屬板上所圍成的圖形面積是$\frac{20π}{11}$m2
(2)要使微粒不落在金屬板上,兩板間的場強(qiáng)方向調(diào)為豎直向下,大小調(diào)為0.1V/m.
(3)B板被微粒打中的區(qū)域長度為(1+$\sqrt{3}$)m,微粒在磁場中運動的最短時間是$\frac{π}{30}$s.

點評 考查帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動,掌握牛頓第二定律與運動學(xué)公式的綜合應(yīng)用,理解幾何關(guān)系在題中的運用,注意會畫出粒子的運動軌跡,及已知長度與半徑的半徑.

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