Question

5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系第三象限內(nèi)有沿+y方向的勻強(qiáng)電場；在第一象限內(nèi)有垂直于紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=$\frac{{mv}_{0}}{qd}$，圖中電場及磁場的邊界均未畫出，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為+q的粒子以初速度v₀自點(diǎn)P（-2$\sqrt{3}$d，-d）沿+x方向運(yùn)動(dòng)，恰經(jīng)原點(diǎn)O進(jìn)入第一象限，不計(jì)粒子重力．
（1）求勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小；
（2）若該勻強(qiáng)磁場B位于x≥9d的區(qū)域內(nèi)，求粒子經(jīng)過坐標(biāo)軸時(shí)的坐標(biāo)；
（3）若該勻強(qiáng)磁場B位于某一矩形區(qū)域內(nèi)，粒子穿過磁場后，最終從x軸上的點(diǎn)Q（9d，0）處沿-y方向進(jìn)入第四象限，求該矩形磁場的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將粒子的運(yùn)動(dòng)分解即可；
（2）由粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)，求出粒子沿豎直方向的分速度，然后求出粒子進(jìn)入磁場的坐標(biāo)；由洛倫茲力提供向心力求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 半徑，然后又幾何關(guān)系即可求出粒子粒子經(jīng)過坐標(biāo)軸時(shí)的坐標(biāo)；
（3）粒子穿過磁場后，最終從x軸上的點(diǎn)Q（9d，0）處沿-y方向進(jìn)入第四象限，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，即可確定該矩形磁場的最小面積．

解答 解：（1）沿x軸方向：$2\sqrt{3}d$=v₀t…①
沿y軸方向：d=$\frac{1}{2}$at²…②
根據(jù)牛頓第二定律：a=$\frac{qE}{m}$…③
由①②③式得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$
（2）y軸方向的速度：v_y=at=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$…④
速度和x軸方向的夾角：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…⑤
所以：α=30°
粒子到達(dá)磁場的邊界時(shí)，縱坐標(biāo)：$y=9d•tan30°=3\sqrt{3}d$
粒子速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$…⑥
粒子進(jìn)入磁場后，根據(jù)左手定則可知粒子沿順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…⑦
由幾何關(guān)系有：r=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$…⑧
由于y=4.5r，所以粒子不能直接經(jīng)過x軸，而是在磁場中偏轉(zhuǎn)300°后又射出磁場，然后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從y軸上的A經(jīng)過坐標(biāo)軸，其軌跡如圖．

粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度是300°，所以射出點(diǎn)在射入點(diǎn)的下方r處．由幾何關(guān)系可知A點(diǎn)的縱坐標(biāo)：${y}_{A}=2y-r=\frac{16\sqrt{3}}{3}d$，
A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）
（3）若該勻強(qiáng)磁場B位于某一矩形區(qū)域內(nèi)，粒子穿過磁場后，最終從x軸上的點(diǎn)Q（9d，0）處沿-y方向進(jìn)入第四象限，其軌跡如圖，則：

由幾何關(guān)系可得，磁場的最小高度等于軌跡的半徑，磁場的最小寬度：L=r+rcos60°=1.5r
所以該矩形磁場的最小面積：${S}_{min}=r•1.5r=1.5{r}^{2}=2x6gwinu^{2}$
答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$；
（2）若該勻強(qiáng)磁場B位于x≥9d的區(qū)域內(nèi)，粒子經(jīng)過坐標(biāo)軸時(shí)的坐標(biāo)是（0，$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）；
（3）該矩形磁場的最小面積是2d²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)，注意在磁場中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場中注意由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．