Question

8．“神舟八號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接前各自繞地球運(yùn)動(dòng)，設(shè)“天宮一號(hào)”在半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)₁，“神舟八號(hào)”在半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，r₁＞r₂，則（　�。�

• A． “天宮一號(hào)”的運(yùn)行速度大于7.9 km/s
• B． “神舟八號(hào)”的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 地球表面的重力加速度g=$\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$
• D． 地球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得出速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，由$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得出周期由于半徑的關(guān)系．可以知道物體的速度與軌道半徑一一對(duì)應(yīng)；又因?yàn)?G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得出加速度$a=G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$加速度的與軌道半徑的關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)題意可知，“天宮一號(hào)”的在軌運(yùn)行高度大于于近地衛(wèi)星的高度，由衛(wèi)星的環(huán)繞速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，高度越低速度越大，第一宇宙速度軌道最小，運(yùn)行速度最大，所以“天宮一號(hào)”的在軌運(yùn)行速度小于第一宇宙速度．故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$ ①，所以：$\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}$，得${T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，故B正確；
CD、天宮一號(hào)圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$．得地球質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$
設(shè)地球的半徑是R，由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$地球表面的重力加速度為：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{1}^{2}}$．故C錯(cuò)誤．D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 一個(gè)天體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力提供向心力，靈活的選擇向心力的表達(dá)式是我們順利解決此類(lèi)題目的基礎(chǔ)．我們要按照不同的要求選擇不同的公式來(lái)進(jìn)行求解．