Question

13．如圖，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里（圖中未畫）．一帶正電的粒子沿圖中直線以速率v₀從圓上的a點(diǎn)射入柱形區(qū)域，從圓上b點(diǎn)（圖中未畫）射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與射入時(shí)的夾角為60°．已知圓心O到直線的距離為 $\frac{1}{2}$R．不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子的比荷 $\frac{q}{m}$；
（2）現(xiàn)將磁場(chǎng)換為平行于紙面且垂直于圖中虛線的勻強(qiáng)電場(chǎng)，同一粒子以兩樣的速度從A點(diǎn)射入柱形區(qū)域，也在a點(diǎn)離開該區(qū)域．求電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（3）若保持（2）電場(chǎng)不變，原磁場(chǎng)方向也不變，調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小使粒子恰好經(jīng)過圓心O，求粒子通過圓心0時(shí)的速度大小．

Answer 1

分析 （1）通過帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑的大小，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，求得比荷．
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合在沿電場(chǎng)方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（3）若保持（2）電場(chǎng)不變，原磁場(chǎng)方向也不變，粒子從a到O點(diǎn)的過程中只有電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理即可求得末速度．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)圓周半徑為r，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$…①
大致畫出b點(diǎn)位置及粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，軌跡圓的圓心為O'，連接ab及O'a、O'b，由題知半徑轉(zhuǎn)過的圓心角θ=60°，△O'ab為等邊三角形，∠O'ab=60°，則∠bac=30°，其中Oc為入射線的垂線段，而在△Oac中，因$\overline{Oc}=\frac{1}{2}R$，$\overline{Oa}=R$，所以∠Oac=30°，即O點(diǎn)在ab連線上．
由幾何關(guān)系知：r=2R…②
由①②兩式解得：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{2BR}$…③
（2）考慮粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)其加速度大小為a，由牛頓第二定律和帶電粒子在電場(chǎng)中的受力公式得：
qE=ma…④
由于ab是圓的直徑，入射方向與圓交于d點(diǎn)，則有bd垂直于ad，則ad長(zhǎng)度為粒子在垂直于電場(chǎng)方向的位移，bd為粒子在平行于電場(chǎng)方向的位移．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：$2Rsin30°=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑤
2Rcos30°=v₀t…⑥
由③④⑤⑥解得：$E=\frac{4}{3}{v}_{0}B$    ⑦
（3）若保持（2）電場(chǎng)不變，原磁場(chǎng)方向也不變，粒子從a到O點(diǎn)的過程中只有電場(chǎng)力做功，$qE•\overline{Oc}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   ⑧
得：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+qE•\frac{1}{2}R}$   ⑨
聯(lián)立③⑦⑨得：$v=\sqrt{\frac{5}{3}}{v}_{0}$
答：（1）粒子的比荷（$\frac{q}{m}$）是$\frac{{v}_{0}}{2BR}$；（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是$\frac{4}{3}{v}_{0}B$；（3）粒子通過圓心0時(shí)的速度大小是$\sqrt{\frac{5}{3}}{v}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中磁偏轉(zhuǎn)和在電場(chǎng)中電偏轉(zhuǎn)的區(qū)別，知道磁偏轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)．