Question

13．如圖所示，摩托車做騰躍特級表演，以初速度v₀沖上高為h、頂部水平的高臺，然后從高臺水平飛出，若摩托車始終以額定功率P行駛，經(jīng)時間t從坡底到達坡頂，人和車的總質(zhì)量為m，且各種阻力的影響可忽略不計，求：
（1）人和車到達坡頂時的速度v
（2）人和車飛出的水平距離x
（3）當h為多少時，人和車飛出的水平距離最遠，并求出最大值X_max．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理，抓住功率不變求出人和車到達坡頂時的速度大小．
（2）根據(jù)高度求出平拋運動的時間，結(jié)合初速度和時間求出水平位移．
（3）運用數(shù)學知識：不等式$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$，當a=b時取等號，對水平方向距離來確定h取何值時，s有最大值．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理得：Pt-mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}}{m}}$．
（2）根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，則水平距離為：x=vt=$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$．
（3）x=vt=$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$=$\sqrt{2h（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}-2h）}$．
利用不等式$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$當a=b時取等號，所以由上式可得：
當$2h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}-2h$時，
即$h=\frac{1}{4}（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}）$時，x取最大值，x_max=2h．
答：（1）人和車到達坡頂時的速度v為$\sqrt{\frac{2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}}{m}}$．
（2）人和車飛出的水平距離x為$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$．
（3）當$h=\frac{1}{4}（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}）$時，人和車飛出的水平距離最遠，最大值X_max為2h．

點評 本題考查動能定理和平拋運動的規(guī)律，難度不大，關(guān)鍵是利用好數(shù)學知識求的極值．