Question

19．如圖所示，MN為光滑的水平面，NO是一長度S=1.25m、傾角為θ=37°的光滑斜面（斜面體固定不動），OP為一粗糙的水平面．MN、NO間及NO、OP間用一小段光滑圓弧軌道相連．一條質(zhì)量為m=2kg，總長L=0.8m的均勻柔軟鏈條開始時靜止的放在MNO面上，其AB段長度為L₁=0.4m．鏈條與OP面的摩擦系數(shù)μ=0.5．（g=10m/s²，sin37°=0.6．cos37°=0.8）現(xiàn)自由釋放鏈條，求：
（1）鏈條的A端滑到O點時，鏈條的速率為多大？
（2）鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點的距離為多大？

Answer 1

分析 （1）鏈條的A端滑到O點的過程中，因為只有重力做功，所以機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律即可求得鏈條A端滑到O點時的速率；
（2）摩擦力隨距離均勻增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功；從鏈條的A端滑到O點到最終鏈條停下的過程，由動能定理可求得停下時的C端距O點的距離．

解答 解：（1）鏈條的A端滑到O點的過程中，因為只有重力做功，所以機械能守恒．
設水平面為重力勢能的零點．鏈條開始運動時的機械能為E₁
設AB段鏈條質(zhì)量為m₁=1.0kg，BC段鏈條質(zhì)量為m₂=1.0kg．
E₁=m₂gSsinθ+m₁g（Ssinθ-$\frac{{L}_{1}}{2}$sinθ）=1×10×1.25×0.6+1×10×（1.25×0.6-0.2×0.6）=13.8J；
因為S＞L，鏈條的A端滑到O點時，C點已在斜面上．設此時的機械能為E₂，
E₂=mg$\frac{L}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$mv²
由機械能守恒定律E₁=E₂
鏈條的A端滑到O點時的速率v
v=$\sqrt{\frac{2{E}_{1}-mgLsinθ}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×13.8-2×10×0.8×0.6}{2}}$=3m/s          
（2）鏈條在開始進入水平面階段，摩擦力是變力．
但摩擦力隨距離均勻增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功
從鏈條的A端滑到O點到最終鏈條停下的過程，由動能定理
mg$\frac{L}{2}$sinθ-$\frac{1}{2}$μmgL-μmgX=0-$\frac{1}{2}$mv²                         
鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點的距離X
X=$\frac{gLsinθ-μgL+{v}^{2}}{2μg}$=$\frac{10×0.8×0.6-0.5×10×0.8+{3}^{2}}{2×0.5×10}$=0.98m．
答：（1）鏈條的A端滑到O點時，鏈條的速率為3m/s；
（2）鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點的距離為0.98m．

點評 本題考查動能定理以及機械能守恒定律的應用，要注意正確分析物理過程，明確摩擦力功的計算方法，知道雖然摩擦力是變力，但由于其均勻變化，故可以利用平均值求解摩擦力的功．