Question

19．如圖所示，有一半徑為R的半球形凹槽P，放在光滑的水平地面上，一面緊靠在光滑的豎直墻壁上，在槽口上有一質(zhì)量為m的小球，由靜止釋放，沿光滑的球面滑下，經(jīng)最低點(diǎn)B，又沿球面上升到最高點(diǎn)C，經(jīng)歷的時(shí)間為t，B、C兩點(diǎn)高度差為0.6R．求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)的速度多大
（2）小球到達(dá)C點(diǎn)的速度多大；
（3）在這段時(shí)間t里，豎直墻壁對(duì)凹槽的沖量以及地面對(duì)凹槽的沖量．

Answer 1

分析 （1）在A→B過程中：m機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解B的速度；
（2）在B→C過程中：凹槽與小球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解即可；
（3）在A→B過程中，豎墻對(duì)凹槽的沖量等于豎墻對(duì)系統(tǒng)的沖量，使得m獲得水平動(dòng)量，根據(jù)動(dòng)量定理求解，在A→C過程中：系統(tǒng)豎直方向上的合沖量為零，即地面對(duì)凹槽的沖量I₂大小與豎直向下的Mg的沖量和mg的沖量之和的大小相等．

解答 解：在A→B過程中：m機(jī)械能守恒（凹槽與小球組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒）
$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$…①
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
（2）在B→C過程中：凹槽與小球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，設(shè)凹槽質(zhì)量為M，則小球到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)，M、m具有共同末速度．
mv_B=（M+m）v_C…②
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{C}}^{2}+0.6mgR$…③
由①②③式得：${v}_{C}=\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$
（3）在A→B過程中，豎墻對(duì)凹槽的沖量等于豎墻對(duì)系統(tǒng)的沖量，使得m獲得水平動(dòng)量，則${I}_{1}=m{v}_{B}=m\sqrt{2gR}$，方向水平向右，
在A→C過程中：系統(tǒng)豎直方向上的合沖量為零，即地面對(duì)凹槽的沖量I₂大小與豎直向下的Mg的沖量和mg的沖量之和的大小相等，則${I}_{2}=Mgt+mgt=\frac{5}{2}mgt$，方向豎直向上．
答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)的速度為$\sqrt{2gR}$；
（2）小球到達(dá)C點(diǎn)的速度為$\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$；
（3）在這段時(shí)間t里，豎直墻壁對(duì)凹槽的沖量大小為$m\sqrt{2gR}$，方向水平向右，地面對(duì)凹槽的沖量大小為$\frac{5}{2}mgt$，方向豎直向上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律以及動(dòng)量定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的定理求解，難度適中．