Question

4．如圖所示，ABC為豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB部分水平，BC部分是半徑為R的圓弧軌道．小球a、b均靜止在水平軌道上，兩者相隔一定距離，兩小球的質(zhì)量分別為m_a=2m、m_b=m．現(xiàn)對(duì)a施加一水平恒力F使其從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，作用時(shí)間t后撤去F，之后a與b發(fā)生對(duì)心彈性正碰，要使碰后兩球均能通過(guò)圓弧軌道的最高點(diǎn)C，求F至少應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 要使小球通過(guò)最高點(diǎn)C，在C點(diǎn)的向心力最小應(yīng)等于重力，求出最高點(diǎn)的臨界速度，再由機(jī)械能守恒定律求出在B點(diǎn)的速度，結(jié)合彈性碰撞動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求出碰撞前a球的最小速度，最后由動(dòng)量定理求F的最小值．

解答 解：對(duì)于任意一個(gè)小球恰好通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，有 m′g=m′$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
小球從最低點(diǎn)B到最高點(diǎn)C的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：2m′gR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得 v_B=$\sqrt{5gR}$
設(shè)a與b碰撞前a的速度為v₀．取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：
   m_av₀=m_av_a+m_bv_b；
  $\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}$
又 m_a=2m、m_b=m
聯(lián)立解得 v_a=$\frac{1}{3}{v}_{0}$，v_b=$\frac{4}{3}{v}_{0}$
所以要使碰后兩球均能通過(guò)圓弧軌道的最高點(diǎn)C，只要滿足條件：v_a=$\frac{1}{3}{v}_{0}$≥$\sqrt{5gR}$，即可．
則v₀的最小值為 v₀=3$\sqrt{5gR}$
對(duì)碰撞前a的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)量定理得
  Ft=m_av₀；
解得 F的最小值 F=$\frac{6m\sqrt{5gR}}{t}$
答：F至少應(yīng)為$\frac{6m\sqrt{5gR}}{t}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的物理規(guī)律，明確小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力，知道彈性碰撞遵守兩大守恒：動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒．