Question

6．如（a）圖所示的控制電子運(yùn)動(dòng)裝置由偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)、偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)組成．偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)處在加有電壓U、相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板之間，勻強(qiáng)磁場(chǎng)水平寬度一定，豎直長(zhǎng)度足夠大，其緊靠偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的右邊．大量電子以相同初速度連續(xù)不斷地沿兩板正中間虛線的方向向右射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)．當(dāng)兩板間沒(méi)有加電壓時(shí)，這些電子通過(guò)兩板之間的時(shí)間為2t₀，當(dāng)兩板間加上如（b）圖所示的電壓U時(shí)，所有電子均能通過(guò)電場(chǎng)、穿過(guò)磁場(chǎng)，最后打在豎直放置的熒光屏上．已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為g，不計(jì)電子的重力及電子間的相互作用，電壓U的最大值為U₀，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平且垂直紙面向里．
（1）如果電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，求它離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)豎直分位移的大�。�
（2）要使電子在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的水平寬度l為多少？
（3）證明：在滿足（2）問(wèn)的條件下，所有電子自進(jìn)入板間到最終打在熒光屏上的總時(shí)間相同，并求出此時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公結(jié)合牛頓第二定律求解；
（2）設(shè)電子從電場(chǎng)中射出的偏向角為θ，速度為v，求出電子從電場(chǎng)中射出沿電場(chǎng)方向的分速度，電子通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)并能垂直打在熒光屏上，其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合幾何關(guān)系求解；
（3）論何時(shí)進(jìn)入兩板間的電子，在兩板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t₁=2t₀，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)時(shí)，電子速度大小相同，方向平行，所以電子在磁場(chǎng)中的軌道半徑相同，都垂直打在熒光屏上，根據(jù)幾何關(guān)系，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角相同，結(jié)合周期公式求解圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出總時(shí)間．

解答 解：（1）電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，后做類平拋運(yùn)動(dòng)，在2t₀-3t₀時(shí)間內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，
根據(jù)牛頓第二定律得：a=$\frac{Ee}{m}=\frac{e{U}_{0}}{md}$，
它離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，豎直分位移的大小y=$\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}=\frac{e{U}_{0}{{t}_{0}}^{2}}{2md}$
（2）設(shè)電子從電場(chǎng)中射出的偏向角為θ，速度為v，則電子從電場(chǎng)中射出沿電場(chǎng)方向的分速度
${v}_{y}=a{t}_{0}=\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$，
sin$θ=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{mdv}$
電子通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)并能垂直打在熒光屏上，其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有：
R=$\frac{mv}{Be}$，由幾何關(guān)系得：sin$θ=\frac{l}{R}$
聯(lián)立解得水平寬度l=Rsin$θ=\frac{mvsinθ}{eB}=\frac{m{v}_{y}}{eB}=\frac{m}{eB}•\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$=$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{md}$
（3）證明：無(wú)
論何時(shí)進(jìn)入兩板間的電子，在兩板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t₁=2t₀，
射出電場(chǎng)時(shí)的豎直分速度v_y均相同，${v}_{y}=a{t}_{0}=\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$，
射出電場(chǎng)時(shí)速度方向與初速度v₀方向的夾角θ均相同，滿足$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{eU}_{0}{t}_{0}}{md{v}_{0}}$，
因此進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)時(shí)，電子速度大小相同，方向平行，所以電子在磁場(chǎng)中的軌道半徑相同，
都垂直打在熒光屏上，根據(jù)幾何關(guān)系，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角一定都為θ，
則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，且總時(shí)間t=${t}_{1}+{t}_{2}=2{t}_{0}+\frac{θ}{2π}•\frac{2πm}{Bq}=2{t}_{0}+\frac{θm}{eB}$，
其中$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{eU}_{0}{t}_{0}}{md{v}_{0}}$．
答：（1）它離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)豎直分位移的大小為$\frac{e{U}_{0}{{t}_{0}}^{2}}{2md}$．
（2）要使電子在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的水平寬度l為$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{md}$；
（3）證明如上，此時(shí)間為$2{t}_{0}+\frac{θm}{eB}$，其中$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{eU}_{0}{t}_{0}}{md{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在垂直的電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在垂直的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．類平拋運(yùn)動(dòng)可用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)處理，圓周運(yùn)動(dòng)的可建立幾何關(guān)系來(lái)列式求解．