Question

12．如圖所示，在0≤x≤$\sqrt{3}$a，0≤y≤a的長(zhǎng)方形區(qū)域有垂直于xoy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（重力不計(jì)），它們的速度方向均在xoy平面內(nèi)的第一象限，且與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)，速度大小不同，且滿足$\frac{2qBa}{m}$≤v≤$\frac{3qBa}{m}$，已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷最長(zhǎng)的時(shí)間為$\frac{T}{6}$
• B． 所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷最長(zhǎng)的時(shí)間小于$\frac{T}{6}$
• C． 從磁場(chǎng)上邊界飛出的粒子經(jīng)歷最短的時(shí)間小于$\frac{T}{12}$
• D． 從磁場(chǎng)上邊界飛出的粒子經(jīng)歷最短的時(shí)間為$\frac{T}{12}$

Answer 1

分析 分析粒子運(yùn)動(dòng)軌跡隨速度與y軸正方向的夾角的變化關(guān)系，求得從磁場(chǎng)上邊界飛出的粒子經(jīng)歷最短的時(shí)間；再分析粒子能到達(dá)的距離o點(diǎn)最遠(yuǎn)處，求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即為運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：粒子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作為向心力，所以有，$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，則有，$R=\frac{mv}{Bq}$；
又因?yàn)?\frac{2qBa}{m}≤v≤\frac{2qBa}{m}$，所以，2a≤R≤3a；
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$；
CD、當(dāng)速度與y軸正方向的夾角θ為零時(shí)，有；
R越大，對(duì)應(yīng)的φ越小，所以，當(dāng)R=3a時(shí)，φ最小，此時(shí)，$sinφ=\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$，所以，$φ＜\frac{π}{6}$，$t=\frac{φ}{2π}T＜\frac{1}{12}T$，故C正確，D錯(cuò)誤；
AB、θ從0增大，則粒子在磁場(chǎng)上邊界的出射點(diǎn)右移，設(shè)磁場(chǎng)橫向無(wú)右邊界，則粒子在上邊界最遠(yuǎn)能到達(dá)的位置為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)與上邊界相切的點(diǎn)，
此時(shí)，粒子出射點(diǎn)的橫坐標(biāo)$x=\sqrt{{R}^{2}-（R-a）^{2}}=\sqrt{2Ra-{a}^{2}}≥\sqrt{3}a$，所以，粒子一定能到達(dá)磁場(chǎng)邊界的右上頂點(diǎn)且粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡都是劣弧，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的弦最大值，所以，粒子出射點(diǎn)為磁場(chǎng)邊界右上邊界點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)角度最大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)；
對(duì)應(yīng)于相同的弦長(zhǎng)，半徑越小，中心角越大，所以，當(dāng)R=2a，且粒子出射點(diǎn)為磁場(chǎng)邊界右上頂點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間最長(zhǎng)；
此時(shí)，半徑和弦長(zhǎng)相等，所以，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的角度$φ=\frac{1}{3}π$，運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間$t=\frac{\frac{1}{3}π}{2π}T=\frac{1}{6}T$，故A正確，B錯(cuò)誤；
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 在求解粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，要注意分析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如本題要分析粒子是否能到達(dá)磁場(chǎng)邊界的右上頂點(diǎn)．