Question

3．如圖所示，質(zhì)量為M、傾角為θ的斜面體（斜面光滑且足夠長(zhǎng)）放在粗糙的水平地面上，斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長(zhǎng)度為x₀的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的小球．待小球靜止后，將小球沿斜面拉下一段距離，然后松開(kāi)，小球便在斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，且斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)．重力加速度為g．
（1）求小球處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度；
（2）選小球的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸，用x表示小球相對(duì)于平衡位置的位移，證明小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
（3）現(xiàn)壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為$\frac{3}{4}$x₀時(shí)由靜止開(kāi)始釋放，求振動(dòng)過(guò)程中彈簧的最大伸長(zhǎng)量；及斜面體與水平地面間的最大靜摩擦力．

Answer 1

分析 （1）物體平衡時(shí)，受重力、支持力和彈簧的彈力，三力平衡，根據(jù)平衡條件并結(jié)合正交分解法和胡克定律列式求解；
（2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力滿(mǎn)足F=-kx形式；
（3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性，先求解出振幅，然后確定最大伸長(zhǎng)量；
當(dāng)滑塊處于任意位移x處時(shí)，能保持靜止即可，對(duì)斜面體受力分析后根據(jù)平衡條件列式求解，然后將最大位移打入即可．

解答 解：（1）設(shè)小球在斜面上平衡時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為△x，有：
mgsinθ=k△x
解得：$△x=\frac{mgsinθ}{k}$
此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為：
${x_0}+△x={x_0}+\frac{mgsinθ}{k}$
（2）當(dāng)小球的位移為x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為x+△x，小球所受合力為：
F=mgsinθ-k（x+△x）=-kx
F∝x，F(xiàn)與x方向時(shí)刻相反，所以滿(mǎn)足讓m做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件F=-kx，所以小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
（3）小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為：$A=\frac{1}{4}{x_0}+\frac{mgsinθ}{k}$
由對(duì)稱(chēng)性可知，彈簧的最大伸長(zhǎng)量為：$△{x_m}=\frac{1}{4}{x_0}+\frac{2mgsinθ}{k}$
設(shè)小球位移x為正，則斜面體受力情況如圖所示，由于斜面體平衡，所以有
水平方向：Fcosθ=f+F_N1sinθ
又F_N1=mgcosθ
當(dāng)F=k△x_m時(shí)，靜摩擦力f取得最大值．
得：${f_m}=\frac{1}{4}k{x_0}cosθ+mgsinθcosθ$
答：（1）求小球處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度${x}_{0}+\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）證明如上所述；
（3）現(xiàn)壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為$\frac{3}{4}$x₀時(shí)由靜止開(kāi)始釋放，振動(dòng)過(guò)程中彈簧的最大伸長(zhǎng)量$\frac{{x}_{0}}{4}+\frac{2mgsinθ}{k}$；及斜面體與水平地面間的最大靜摩擦力$\frac{k{x}_{0}cosθ}{4}+mgsinθcosθ$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是先對(duì)滑塊受力分析，然后根據(jù)牛頓第二定律列式分析；最后對(duì)斜面體受力分析，確定動(dòng)摩擦因素的最小值，難題．