Question

【題目】如圖所示為研學(xué)小組的同學(xué)們用圓錐擺驗(yàn)證向心力表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)情景。將一輕細(xì)線上端固定在鐵架臺(tái)上，下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將畫有幾個(gè)同心圓周的白紙置于懸點(diǎn)下方的水平平臺(tái)上，調(diào)節(jié)細(xì)線的長(zhǎng)度使小球自然下垂靜止時(shí)恰好位于圓心處。手帶動(dòng)小球運(yùn)動(dòng)使它在放手后恰能在紙面上方沿某個(gè)畫好的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。調(diào)節(jié)平臺(tái)的高度，使紙面貼近小球但不接觸。

(1)若忽略小球運(yùn)動(dòng)中受到的阻力，在具體的計(jì)算中可將小球視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g；

①?gòu)氖芰η闆r看，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所受的向心力是____________（選填選項(xiàng)前的字母）；

A．小球所受繩子的拉力

B．小球所受的重力

C．小球所受拉力和重力的合力

②在某次實(shí)驗(yàn)中，小球沿半徑為r的圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用秒表記錄了小球運(yùn)動(dòng)n圈的總時(shí)間t，則小球做此圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小Fn=____________（用m、n、t、r及相關(guān)的常量表示）。用刻度尺測(cè)得細(xì)線上端懸掛點(diǎn)到畫有圓周紙面的豎直高度為h，那么對(duì)小球進(jìn)行受力分析可知，小球做此圓周運(yùn)動(dòng)所受的合力大小F=____________（用m、h、r及相關(guān)的常量表示）；

③保持n的取值不變，改變h和r進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，可獲取不同時(shí)間t。研學(xué)小組的同學(xué)們想用圖像來(lái)處理多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)而驗(yàn)證小球在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球所受的合力F與向心力Fn大小相等。為了直觀，應(yīng)合理選擇坐標(biāo)軸的相關(guān)變量，使待驗(yàn)證關(guān)系是線性關(guān)系。為此不同的組員嘗試選擇了不同變量并預(yù)測(cè)猜想了如圖所示的圖像，若小球所受的合力F與向心力Fn大小相等，則這些圖像中合理的是__________（選填選項(xiàng)的字母）；

(2)考慮到實(shí)驗(yàn)的環(huán)境、測(cè)量條件等實(shí)際因素，對(duì)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)的操作，下列說(shuō)法中正確的是_________（選填選項(xiàng)前的字母）；

A．相同體積的小球，選擇密度大一些的球可以減小空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響

B．相同質(zhì)量的小球，選擇體積小一些的球有利于確定其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

C．測(cè)量多個(gè)周期的總時(shí)間再求周期的平均值，有利于減小周期測(cè)量的偶然誤差

D．在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中必須測(cè)量出小球的質(zhì)量

(3)上述實(shí)驗(yàn)中小球運(yùn)動(dòng)起來(lái)后撤掉平臺(tái)，由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在空氣阻力的影響，所以持續(xù)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越來(lái)越小，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，小球會(huì)停止在懸點(diǎn)正下方。若小球在運(yùn)動(dòng)中每轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)半徑變化均可忽略，即每一周都可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)分析說(shuō)明在小球做上述圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，隨著細(xì)繩與豎直方向的夾角不斷減小，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是如何變化的_______；

(4)小明同學(xué)認(rèn)為:在擺角較小的條件下，單擺的周期和圓周擺的周期可以認(rèn)為相等，請(qǐng)推導(dǎo)證明小明的觀點(diǎn)是否成立________。

Answer 1

【答案】C B ABC 周期變大 成立

【解析】

（1）①[1]小球受重力和細(xì)線的拉力作用，則小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和細(xì)線拉力的合力提供，故選C；

②[2][3]小球做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

則向心力

小球所受的合力為

③[4]設(shè)小球做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

此時(shí)小球距細(xì)線上端固定點(diǎn)的豎直高度為h，根據(jù)合外力等于向心力有

可得

故選B。

（2）[5]A．相同體積的小球，選擇密度大一些的球可以減小空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，選項(xiàng)A正確；

B．相同質(zhì)量的小球，選擇體積小一些的球有利于確定其圓心的位置，從而容易確定其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，選項(xiàng)B正確；

C．測(cè)量多個(gè)周期的總時(shí)間再求周期的平均值，有利于減小周期測(cè)量的偶然誤差，選項(xiàng) C正確；

D．由③的分析可知，當(dāng)合外力等于向心力時(shí)，小球的質(zhì)量可以消掉，則在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中不需測(cè)量出小球的質(zhì)量，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

故選ABC。

（3）[6]設(shè)小球做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，此時(shí)小球距細(xì)線上端固定點(diǎn)的豎直高度為h，根據(jù)合外力等于向心力有

可解得

因半徑變小，繩長(zhǎng)不變，h變大，故小球周期變大。

（4）[7]成立；圓錐擺的周期根據(jù)

得

夾角較小，cosθ≈1則

即此時(shí)單擺的周期和圓周擺的周期可以認(rèn)為相等。