Question

7．如圖所示，虛線左側(cè)存在非勻強(qiáng)電場，MO是電場中的某條電場線，方向水平向右，長直光滑絕緣細(xì)桿CD沿該電場線放置．質(zhì)量為m₁、電荷量為+q₁的A球和質(zhì)量為m₂、電荷量為+q₂的B球穿過細(xì)桿（均可視為點(diǎn)電荷）．當(dāng)t=0時(shí)A在O點(diǎn)獲得向左的初速度v₀，同時(shí)B在O點(diǎn)右側(cè)某處獲得向左的初速度v₁，且v₁＞v₀．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在B向O點(diǎn)靠近過程中，A始終向左做勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t=t₀時(shí)B到達(dá)O點(diǎn)（未進(jìn)入非勻強(qiáng)電場區(qū)域），A運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)（圖中未畫出），此時(shí)兩球間距離最小．靜電力常量為k．
（1）求0～t₀時(shí)間內(nèi)A對(duì)B球做的功；
（2）求桿所在直線上場強(qiáng)的最大值；
（3）某同學(xué)計(jì)算出0～t₀時(shí)間內(nèi)A對(duì)B球做的功W₁后，用下列方法計(jì)算非勻強(qiáng)電場PO兩點(diǎn)間電勢差：
設(shè)0～t₀時(shí)間內(nèi)B對(duì)A球做的功為W₂，非勻強(qiáng)電場對(duì)A球做的功為W₃，
根據(jù)動(dòng)能定理W₂+W₃=0   又因?yàn)閃₂=-W₁
PO兩點(diǎn)間電勢差U=$\frac{W_3}{q_1}$=$\frac{W_1}{q_1}$
請(qǐng)分析上述解法是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題，t=0時(shí)A球以速度υ₀在非勻強(qiáng)電場中向左做勻速運(yùn)動(dòng)，以速度υ₁向左運(yùn)動(dòng)，且υ₁＞υ₀．則AB間距離不斷減小，B球做減速運(yùn)動(dòng)，t=t₀時(shí)兩者速度相同，距離最小，在此過程中只有A球的庫侖力對(duì)B球做功，根據(jù)動(dòng)能定理求解0～t₀時(shí)間內(nèi)A對(duì)B球做的功；
（2）A做勻速運(yùn)動(dòng)，所受的電場力與B球?qū)λ�的庫侖力相平衡，�?dāng)B球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，兩帶電小球間的距離最小，庫侖力最大，A所受的電場力也最大，場強(qiáng)最大，根據(jù)平衡條件和庫侖定律求解場強(qiáng)的最大值；
（3）該同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的．B球向A球靠近的過程，兩者位移不等，W₂≠-W₁．

解答 解：（1）B球運(yùn)動(dòng)過程中只受A球?qū)λ�的庫侖力作用，�?dāng)它運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)速度跟A球相同為v₀．庫侖力做的功即為B球動(dòng)能增加量，由動(dòng)能定理得：
A對(duì)B球做的功 W=$\frac{1}{2}$${m}_{2}{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{1}^{2}$
（2）因?yàn)锳球做勻速運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移 x=v₀t₀
此時(shí)的庫侖力 F=k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{x}^{2}}$
因?yàn)锳球始終做勻速運(yùn)動(dòng)，所以非勻強(qiáng)電場對(duì)它的作用力與B球?qū)λ�的庫侖力相平衡．�?dāng)B球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，兩帶電小球間的距離最小，庫侖力最大．因此，電場對(duì)A的作用力也最大，電場強(qiáng)度也最大，為  
  E=$\frac{F}{{q}_{1}}$=$\frac{k{q}_{2}}{{v}_{0}^{2}{t}_{0}^{2}}$
（3）該同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的．
因?yàn)锽球向A球靠近的過程，雖然它們的作用力大小相等，但它們運(yùn)動(dòng)的位移不等，所以相互作用力所做的功W₁、W₂的大小不相等，即W₂=-W₁是錯(cuò)誤的．
答：
（1）0～t₀時(shí)間內(nèi)A對(duì)B球做的功是$\frac{1}{2}$${m}_{2}{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{1}^{2}$．
（2）桿所在直線上場強(qiáng)的最大值是$\frac{k{q}_{2}}{{v}_{0}^{2}{t}_{0}^{2}}$．
（3）該同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的．因?yàn)锽球向A球靠近的過程，雖然它們的作用力大小相等，但它們運(yùn)動(dòng)的位移不等，所以相互作用力所做的功W₁、W₂的大小不相等．

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)兩球之間庫侖力的變化，分析B球的運(yùn)動(dòng)情況，確定速度相同時(shí)距離最小是關(guān)鍵，再根據(jù)動(dòng)能定理和庫侖定律結(jié)合求解．