Question

如圖甲所示，兩平行金屬板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的交流電壓u，金屬板間電場(chǎng)可看做均勻、且兩板外無(wú)電場(chǎng)，板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.1m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷

q

m

=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視為恒定不變．求：

（1）帶電粒子剛好從極板邊緣射出時(shí)兩金屬板間的電壓；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)粒子最大速度的大�。�
（3）證明：任意時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為定值，并計(jì)算兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析：（1）將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，水平方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，豎直方向?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
（2）帶電粒子從平行板邊緣射出時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，獲得的動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子速度向上偏轉(zhuǎn)或向下偏轉(zhuǎn)，畫(huà)出可能的兩種軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到軌道半徑，通過(guò)幾何關(guān)系得到向上偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式進(jìn)行分析．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)電壓為U

d

2

=

1

2

at2             
a=

Eq

m

=

Uq

dm

t=

l

v0

解得
U=25V
即帶電粒子剛好從極板邊緣射出時(shí)兩金屬板間的電壓為25V．
（2）帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v_m，由動(dòng)能定理

qU

2

=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

vm=5

5

×104m/s
即帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)粒子最大速度的大小為5

5

×104m/s．
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其可能的兩種軌跡如圖；

設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OO'的夾角為θ
則任意時(shí)刻粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小v=

v0

cosθ

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為RR=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

  
設(shè)帶電粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離為l，l=2Rcosθ=

2mv0

qB

由上式可知，射出電場(chǎng)的任何一個(gè)帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的入射點(diǎn)與射出磁場(chǎng)時(shí)的出射點(diǎn)間距離為定值，l與θ無(wú)關(guān)，與所加電壓值無(wú)關(guān)        
兩點(diǎn)間的距離為：l=0.4m，
故任意時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為定值，兩點(diǎn)間的距離為0.4m．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是畫(huà)出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑和周期，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍．