Question

一根不可伸長的細輕繩，穿上一粒質(zhì)量為的珠子（視為質(zhì)點），繩的下端固定在點，上端系在輕質(zhì)小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細桿滑動（小環(huán)的質(zhì)量及與細桿摩擦皆可忽略不計），細桿與在同一豎直平面內(nèi)．開始時，珠子緊靠小環(huán)，繩被拉直，如圖復19-7-1所示，已知，繩長為，點到桿的距離為，繩能承受的最大張力為，珠子下滑過程中到達最低點前繩子被拉斷，求細繩被拉斷時珠子的位置和速度的大小（珠子與繩子之間無摩擦）

注：質(zhì)點在平面內(nèi)做曲線運動時，它在任一點的加速度沿該點軌道法線方向的分量稱為法向加速度，可以證明，，為質(zhì)點在該點時速度的大小，為軌道曲線在該點的“曲率半徑”，所謂平面曲線上某點的曲率半徑，就是在曲線上取包含該點在內(nèi)的一段弧，當這段弧極小時，可以把它看做是某個“圓”的弧，則此圓的半徑就是曲線在該點的曲率半徑．如圖復19-7-2中曲線在點的曲率半徑為，在點的曲率半徑為．

Answer 1

1. 珠子運動的軌跡

建立如圖復解19-7所示的坐標系，原點在過點的豎直線與細桿相交處，軸沿細桿向右，軸沿向下。當珠子運動到點處且繩子未斷時，小環(huán)在處，垂直于軸，所以珠子的坐標為

           

由知

           

即有，得

                                             （1）

這是一個以軸為對稱軸，頂點位于處，焦點與頂點的距離為的拋物線，如圖復解19-7-1所示，圖中的，為焦點。

2. 珠子在點的運動方程

因為忽略繩子的質(zhì)量，所以可把與珠子接觸的那一小段繩子看做是珠子的一部分，則珠子受的力有三個，一是重力；另外兩個是兩繩子對珠子的拉力，它們分別沿和方向，這兩個拉力大小相等，皆用表示，則它們的合力的大小為

                                                    （2）

為點兩邊繩子之間夾角的一半，沿的角平分線方向。

因為是焦點至的連線，平行于軸，根據(jù)解析幾何所述的拋物線性質(zhì)可知，點的法線是的角平分線．故合力的方向與點的法線一致。

由以上的論證．再根據(jù)牛頓定律和題中的注，珠子在點的運動方程（沿法線方向）應(yīng)為

                                        （3）

                                        （4）

式中是點處軌道曲線的曲率半徑；為珠子在處時速度的大小。根據(jù)機械能守恒定律可得

                                                           （5）

3. 求曲車半徑

當繩子斷裂時，由（4）式可見，如果我們能另想其他辦法求得曲率半徑與的關(guān)系,則就可能由（4）、（5）兩式求得繩子斷裂時珠子的縱坐標�，F(xiàn)提出如下一種辦法。做一條與小珠軌跡對于軸呈對稱狀態(tài)的拋物線，如圖復解19-7-2所示。由此很容易想到這是一個從高處平拋物體的軌跡。平拋運動是我們熟悉的，我們不僅知道其軌跡是拋物線，而且知道其受力情況及詳細的運動學方程。這樣我們可不必通過軌道方程而是運用力學原理分析其運動過程即可求出與對稱的點處拋物線的曲率半徑與的關(guān)系，也就是處拋物線的曲率半徑與的關(guān)系。

設(shè)從拋出至落地的時間為，則有

           

由此解得

                                                   （7）

設(shè)物體在處的速度為，由機械能守恒定律可得

                                           （8）

物體在處法線方向的運動方程為

                                                  （9）

式中即為處拋物線的曲率半徑，從（7）、（8）、（9）式及,可求得

               

這也等于點拋物線的曲率半徑，，故得

                                                     （10）

4. 求繩被拉斷時小珠的位置和速度的大小

把（5）式和（10）式代入（4）式，可求得繩子的張力為

                                                     （11）

當時繩子被拉斷，設(shè)此時珠子位置的坐標為，由（11）式得

                                                   （12）

代入（1）式，得

                                        （13）

繩子斷開時珠子速度的大小為

                                       （14）