Question

2．如圖所示，n=50匝的矩形線圈abcd，邊長ab=40cm，bc=50cm，放在磁感強度B=$\frac{0.4}{π}$T的水平向右的勻強磁場中，繞垂直于磁感線且通過線圈中線的OO′軸勻速轉動，轉動角速度ω=50πrad/s，線圈的總電阻r=1Ω，線圈與外電路組成串聯電路，外電路電阻R=4Ω．試求：
（1）若從圖中位置開始計時，寫出感應電動勢的瞬時值表達式；
（2）線圈從圖示位置開始計時，當t=$\frac{T}{6}$時刻電路中的感應電流大�。�
（3）1min時間內電阻R上產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）先根據${E}_{m}^{\;}=nBSω$求感應電動勢最大值，線圈從垂直中性面開始計時，所以感應電動勢的瞬時值表達式為$e={E}_{m}^{\;}cosωt$（V）；
（2）將$t=\frac{T}{6}$代入電動勢的瞬時值表達式，求出電動勢的瞬時值，再由歐姆定律求出感應電流的大小；
（3）根據焦耳定律求解電阻R上產生的熱量Q；

解答 解：（1）線圈在圖示位置（線圈平面與磁感線平行）時，感應電動勢最大值為：
E_m=nBSω=200v       
電動勢瞬時表達式為：
e=E_m cosωt=200cos50πt（v）       
（2）感應電流最大值為：I_m=40A        
電流瞬時表達式為：
i=I_m cosωt=40cos50πt（A）    
$t=\frac{T}{6}=\frac{2π}{6ω}=\frac{π}{3ω}$      
代入i=I_m cosωt=40cos $\frac{π}{3}$（A）=20A      
（3）因為該裝置產生的是正余弦式交流電，電流的有效值為：
I=$\frac{Im}{\sqrt{2}}$=20$\sqrt{2}$ A   
熱量Q=I²Rt，代入數據可得：
Q=1.92×10⁵J   
答：（1）若從圖中位置開始計時，寫出感應電動勢的瞬時值表達式e=E_m cosωt=200cos50πt（v）；
（2）線圈從圖示位置開始計時，當t=$\frac{T}{6}$時刻電路中的感應電流大小為20A；
（3）1min時間內電阻R上產生的熱量Q為$1.92×1{0}_{\;}^{5}J$

點評 考查法拉第電磁感應定律與焦耳定律，掌握感應電動勢的最大值的求法與運用交流電的有效值來計算熱量，注意當線圈平面與磁感線平行時，感應電動勢最大．