Question

9．如圖所示，半徑為R的圓是圓柱形區(qū)域的橫截面，c為圓心，在圓上a點有一粒子源能以相同的速率向圓面內(nèi)各個方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q 的帶正電粒子．當柱形區(qū)域存在垂直于圓面、磁感應強度大小為B的勻強磁場時，沿ac方向射入的粒子從b 點離開場區(qū)，此過程粒子速度方向偏轉(zhuǎn)了$\frac{2π}{3}$．若只將柱形區(qū)域內(nèi)的磁場換成平行于圓面的勻強電場，粒子從電場中射出的最大動能是初動能的4倍，經(jīng)過b點的粒子在 b點的動能是初動能的3倍．不計粒子重力及粒子間的相互作用．求：
（1）粒子源發(fā)射粒子的速率v₀及從b點離開磁場的粒子在磁場中運動的最長時間t_m；
（2）電場強度的方向及大�。�

Answer 1

分析 （1）畫出運動軌跡，根據(jù)幾何知識求解半徑，根據(jù)qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$求解初速度，根據(jù)圓心角和周期求解時間；
（2）設電場方向與ab連線夾角為θ，離開電場時動能最大的粒子的射出點和C點連線一定和電場方向平行．畫出圖象，根據(jù)動能定理列式求解即可．

解答 解：（1）粒子在磁場中作勻速圓周運動，設軌跡圓半徑為r，作出以ab為弦的兩段圓弧如圖2所示，O₁、O₂分別為兩圓圓心，由從b點射出的粒子速度偏轉(zhuǎn)角知：對以O₁為圓心的圓有：圓周角∠aO₁b=$\frac{2π}{3}$，由幾何知識可知：弦切角∠cab=$\frac{π}{3}$，△abC為等邊三角形，可得ab長度L=R①
從△abO₁可得：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R②
由圓周運動的規(guī)律有：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$③
由⑧⑨式可得：v₀=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$④
粒子在磁場中運動時間最長時的軌跡是以O₂為圓心的圓弧，在菱形aO₁bO₂中有：∠aO₂b=∠aO₁b=$\frac{2π}{3}$
粒子的偏轉(zhuǎn)角θ=2π-∠aO₂b⑤
由圓周運動的規(guī)律有：t_m=$\frac{θr}{{v}_{0}}$ ⑥
解得：t_m=$\frac{4πm}{3qB}$
（2）設電場方向與ab連線夾角為θ，離開電場時動能最大的粒子的射出點和C點連線一定和電場方向平行，如右圖所示．
在粒子從a運動到b點過程中由動能定理有：
qERcosθ=2×3×$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$⑦
對離開電場時動能最大的粒子在電場中由動能定理有：
qER[1+sin（θ+$\frac{π}{6}$）]=3×$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$⑧
由④⑦⑧式解得：θ=0 （即電場方向由a指向b）
E=$\frac{{B}^{2}qR}{3m}$ 
或θ滿足sinθ=-$\frac{4}{7}\sqrt{3}$
E=$\frac{7{B}^{2}qR}{3m}$
答：（1）粒子源發(fā)射粒子的速率v₀=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；從b點離開磁場的粒子在磁場中運動的最長時間t_m=$\frac{4πm}{3qB}$；（2）θ=0 （即電場方向由a指向b）E=$\frac{{B}^{2}qR}{3m}$ 或θ滿足sinθ=-$\frac{4}{7}\sqrt{3}$大小為E=$\frac{7{B}^{2}qR}{3m}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，畫出運動軌跡圖，熟練掌握圓周運動及平拋運動的基本公式，難度適中．