Question

11．在光滑絕緣水平桌面上有一邊長(zhǎng)為2l的正方形區(qū)域abcd，e為dc邊上的一點(diǎn)，且ec=$\sqrt{3}$l，f為bc邊的中點(diǎn)，在bc右側(cè)固定“V”字型足夠長(zhǎng)的絕緣彈性擋板fg、fh，兩擋板與bc的夾角均為60°，俯視圖如圖甲所示，正方形區(qū)域abcd存在方向垂直于桌面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，“V”字型區(qū)域內(nèi)有垂直桌面的交變磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化如圖乙所示（垂直桌面向下為磁場(chǎng)的正方向），其中B₁=B₀，B₂未知．一帶電小球靜止在e點(diǎn)，現(xiàn)使小球以平行桌面的速度v從e點(diǎn)射入正方形區(qū)域，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，在t=0時(shí)刻恰好從f點(diǎn)垂直bc射出，進(jìn)入“V”字型擋板內(nèi)的磁場(chǎng)中，在t₁時(shí)刻小球撞到擋板fg，在t₁+t₂時(shí)刻（t₁、t₂均為未知）小球撞到擋板fh，然后小球又從f點(diǎn)返回正方形區(qū)域．若小球與擋板碰撞前后電荷量不變，沿板的分速度不變、垂直板的分速度大小不變方向相反，不計(jì)碰撞的時(shí)間及磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的影響．求：

（1）帶電小球的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）帶電小球從e點(diǎn)射入磁場(chǎng)到第二次經(jīng)過(guò)f點(diǎn)所用的時(shí)間；
（3）帶電小球離開(kāi)正方形磁場(chǎng)區(qū)域的位置．

Answer 1

分析 （1）在正方形磁場(chǎng)中已知粒子出射點(diǎn)的速度方向和出、入射點(diǎn)的位置，由圓的相關(guān)知識(shí)很容易找到圓心及半徑，由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子的比荷．
（2）粒子第二次經(jīng)過(guò)f點(diǎn)，則粒子在交變的V形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡具有對(duì)稱(chēng)性，畫(huà)出其軌跡，確定半徑大小，從而確定B₁、B₂    與B₀的關(guān)系，從而求出周期關(guān)系，從偏轉(zhuǎn)角求出在各個(gè)時(shí)間段的時(shí)間，再求出總時(shí)間．
（3）由f點(diǎn)進(jìn)入正方形磁場(chǎng)后，由于速度方向變向，所以偏轉(zhuǎn)方向?qū)⑾蛏蠈?duì)稱(chēng)地打在ab邊上，與e對(duì)稱(chēng)．

解答 解：（1）小球在正方形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1所示，
  由圖知半徑為：r=2l    
  由$r=\frac{mv}{qB}$得：$\frac{q}{m}=\frac{v}{2{B}_{0}l}$     
（2）小球在正方形區(qū)域運(yùn)動(dòng)的周期為：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$  
  運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\frac{{T}_{1}}{6}$  
  小球進(jìn)入“V”字型磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示，軌跡半徑仍為2l，
  周期仍為：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，${t}_{2}=\frac{{T}_{1}}{6}$  
  小球與gf板碰后，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為l 
  由$r=\frac{mv}{qB}$得：B₂=2B₀  
  周期為：${T}_{2}=\frac{πm}{q{B}_{0}}$，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{3}=\frac{{T}_{2}}{2}$  
  小球與fh板碰后，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，半徑仍為2l   
  周期仍為：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{4}=\frac{{T}_{1}}{2}$  
  小球由e點(diǎn)射入磁場(chǎng)到返回到f點(diǎn)所用的時(shí)間：
  $t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=\frac{{T}_{1}+{T}_{2}}{2}=\frac{3πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{3πl(wèi)}{v}$  
（3）小球再次進(jìn)入正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖3所示，小球從p點(diǎn)離開(kāi)區(qū)域，p點(diǎn)到b點(diǎn)的距
  離為$\sqrt{3}l$，距e點(diǎn)的距離為2l．
答：（1）帶電小球的比荷為$\frac{v}{2{B}_{0}l}$．
（2）帶電小球從e點(diǎn)射入磁場(chǎng)到第二次經(jīng)過(guò)f點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{3πl(wèi)}{v}$．
（3）帶電小球離開(kāi)正方形磁場(chǎng)區(qū)域的位置：到b點(diǎn)的距
離為$\sqrt{3}l$，距e點(diǎn)的距離為2l．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是要畫(huà)出粒子在兩種磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由軌跡找到粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑，從而確定磁感應(yīng)強(qiáng)度與B₀的關(guān)系，確定周期關(guān)系，從而求出粒子在每一時(shí)間段的時(shí)間，再求出總時(shí)間．要說(shuō)明的是此題的解法直接利用了粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式（當(dāng)然推導(dǎo)過(guò)程也很簡(jiǎn)單），即：$r=\frac{mv}{qB}$，$T=\frac{2πm}{qB}$．