Question

16．如圖所示，地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)繞太陽(yáng)同向公轉(zhuǎn)，均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T．地球和太陽(yáng)中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球?qū)υ撔行堑挠^察視角（簡(jiǎn)稱視角）．已知該行星的最大視角為θ，當(dāng)行星處于最大視角處時(shí)，是地球上天文愛好者觀察該行星的最佳時(shí)期．求：
（1）該行星的公轉(zhuǎn)周期T_行
（2）若某時(shí)刻該行星正處于最佳觀察期，則到緊接著的下一次最佳觀察期需經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知道當(dāng)行星處于最大視角處時(shí)，地球和行星的連線應(yīng)與行星軌道相切，運(yùn)用幾何關(guān)系求解軌道半徑．地球與某行星圍繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第三定律解出周期；
（2）地球和行星均為逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)再次出現(xiàn)觀測(cè)行星的最佳時(shí)期時(shí)角度存在這樣的關(guān)系，ωt-ω₁t=（π±2θ），根據(jù)該關(guān)系求出再次出現(xiàn)觀測(cè)行星的最佳時(shí)期的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)行星的公轉(zhuǎn)半徑為r
r=Rsinθ
則由開普勒第三定律$\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$得：${T}_{行}^{\;}=\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}}T=\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}T$
（2）情景一，當(dāng)行星處于最佳觀察期時(shí)，行星在地球之前．設(shè)地球的角速度ω₁，行星的角速度ω₂，經(jīng)歷時(shí)間為t₁，則有：
且$ω=\frac{2π}{T}$
${ω}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}={ω}_{2}^{\;}{t}_{1}^{\;}-2π+2（\frac{π}{2}-θ）$
得：${t}_{1}^{\;}=\frac{（π+2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$
情景二，當(dāng)行星處于最佳觀察期時(shí)，地球在行星之前．設(shè)地球的角速度ω₁，行星的角速度ω₂，經(jīng)歷時(shí)間為t₂，則有：
${ω}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}={ω}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}+2（\frac{π}{2}-θ）$
得：${t}_{2}^{\;}=\frac{（π-2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$
答：（1）該行星的公轉(zhuǎn)周期${T}_{行}^{\;}$為$\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}T$
（2）若某時(shí)刻該行星正處于最佳觀察期，則到緊接著的下一次最佳觀察期需經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{（π+2θ）\sqrt{\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$或$\frac{（π-2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$．

點(diǎn)評(píng) 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或要求解的物理量選取應(yīng)用．要注意物理問題經(jīng)常要結(jié)合數(shù)學(xué)幾何關(guān)系解決．正確作圖是解題的關(guān)鍵．