Question

7．如圖所示，水平地面上有一個(gè)坑，其豎直截面為半圓，半徑為R，ab為沿水平方向的直徑，O為圓心．若在a點(diǎn)以某一初速度v₀沿ab方向拋出一小球，小球會(huì)擊中坑壁上的c點(diǎn)（c點(diǎn)未畫出）．以下說(shuō)法正確的是（　　）

• A． c點(diǎn)的速度反向延長(zhǎng)線過(guò)O點(diǎn)
• B． 若v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$，則c點(diǎn)距直徑ab的距離為$\frac{1}{2}$R
• C． 若v₀=$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，則擊中c點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為初動(dòng)能的2倍
• D． 當(dāng)c點(diǎn)在O點(diǎn)正下方時(shí)，小球的末動(dòng)能最大

Answer 1

分析 平拋運(yùn)動(dòng)速度的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)水平位移的中點(diǎn)．平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球落在O點(diǎn)正下方時(shí)平拋的初速度，從而確定出若v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$時(shí)c點(diǎn)的位置，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求時(shí)間，結(jié)合幾何關(guān)系求c點(diǎn)距直徑ab的距離．若v₀=$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求時(shí)間，求出擊中c點(diǎn)時(shí)的分速度，再研究動(dòng)能與初動(dòng)能的關(guān)系．由動(dòng)能定理分析小球落何處動(dòng)能最大．

解答 解：A、平拋運(yùn)動(dòng)速度的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)水平位移的中點(diǎn)，由于O點(diǎn)不是水平位移的中點(diǎn)，所以c點(diǎn)的速度反向延長(zhǎng)線不經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．
B、設(shè)球落在O點(diǎn)正下方時(shí)平拋的初速度為v，則有 R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，R=vt，得 v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$＞v，可知小球落在O點(diǎn)的右下方．
若c點(diǎn)距直徑ab的距離 h=$\frac{1}{2}$R，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$
落在c點(diǎn)時(shí)，設(shè)水平位移為x，由幾何關(guān)系有 R²=h²+（x-R）²；解得 x=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$R
由x=v₀t得 v₀=$\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{gR}}{2}$，故B錯(cuò)誤．
C、若擊中c點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為初動(dòng)能的2倍，則擊中c點(diǎn)時(shí)的速度是初速度的$\sqrt{2}$倍，即為$\sqrt{2}$v₀，由分速度的關(guān)系知，v_y=v₀．
平拋時(shí)間 t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
豎直位移 y=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，水平位移 x=v₀t=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
根據(jù)R²=y²+（x-R）²；解得 v₀=$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，故C正確．
D、設(shè)擊中點(diǎn)c與b所對(duì)的圓心角為θ，則小球下落的高度 h=Rsinθ，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2Rsinθ}{g}}$
水平位移 x=（1+cosθ）R，則初速度 v₀=$\frac{x}{t}$=（1+cosθ）$\sqrt{\frac{gR}{2sinθ}}$．
小球的末動(dòng)能 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgh=mgR$\frac{-3co{s}^{2}θ+2cosθ+5}{4sinθ}$
對(duì)動(dòng)能求導(dǎo)得：E_k′=mgR$\frac{4（6cosθsinθ-2sinθ）sinθ-4（-3co{s}^{2}θ+2cosθ+5）cosθ}{16si{n}^{2}θ}$
當(dāng)E_k′=0時(shí)，θ≠90°，所以當(dāng)c點(diǎn)在O點(diǎn)正下方時(shí)，小球的末動(dòng)能不是最大，故D錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要抓住幾何關(guān)系，分析平拋運(yùn)動(dòng)水平位移和豎直位移之間的關(guān)系，采用倒序法進(jìn)行研究．