Question

14．如圖所示，AB是一段位于豎直平面內(nèi)的四分之一光滑圓弧軌道，半徑為R，末端B處的切線方向水平．一個(gè)質(zhì)量為m的小球從軌道頂端A處由靜止釋放，滑到B端時(shí)小球?qū)�軌道的壓力�?mg，平拋飛出落到地面上的C點(diǎn)，軌跡如圖中虛線BC所示．已知它在空中運(yùn)動(dòng)的水平位移OC=L．現(xiàn)在軌道下方緊貼B點(diǎn)安裝一水平傳送帶．傳送帶的右端與B的距離為$\frac{L}{2}$．當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，讓小球再次從A點(diǎn)由靜止釋放，它離開(kāi)軌道并在傳送帶上滑行后從右端水平飛出，仍然落在地面的C點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力．
（1）求小球滑至B點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）求小球與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）如果傳送帶向右轉(zhuǎn)動(dòng)，小球從A處滑到傳送帶上受到向右摩擦力，求落地點(diǎn)距離O點(diǎn)多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）AB是光滑軌道，物體P從軌道頂端處A點(diǎn)滑到B點(diǎn)過(guò)程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出物體P滑到B的速度大�。�物體P離開(kāi)B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，有傳送帶且靜止時(shí)，物體P從E點(diǎn)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變，求出P從靜止的傳送帶右端水平飛出時(shí)的速度大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理研究物體P在傳送帶上滑行過(guò)程，即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）當(dāng)傳送帶勻速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求出物體P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度，再由平拋知識(shí)求解s．

解答 解：（1）設(shè)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為v₁，
由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
由牛頓第三定律可得：F=F′=3mg，
解得：v₁=$\sqrt{2gR}$；
（2）兩次平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，設(shè)為t，則：L=v₁t
設(shè)在傳送帶右端運(yùn)動(dòng)速度為v₂，則：$\frac{L}{2}$=v₂t，
在靜止傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：2μg•$\frac{L}{2}$=v₂²-v₁²
解得，小球與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)：μ=$\frac{3R}{2L}$；
（3）當(dāng)受到傳送帶向右的作用力時(shí)設(shè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v₃
根據(jù)運(yùn)動(dòng)公式得：2μg•$\frac{L}{2}$=v₃²-v₁²，把μ=$\frac{3R}{2L}$、v₁=$\sqrt{2gR}$帶入上式，解得：v₃=$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$，
平拋運(yùn)動(dòng)的落地時(shí)間：t=$\frac{L}{{v}_{1}}$=$\frac{L}{\sqrt{2gR}}$，
當(dāng)以v₃=$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$速度做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，
落地的水平位移：x=v₃t=v₃=$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$×$\frac{L}{\sqrt{2Rg}}$=$\frac{\sqrt{7}L}{2}$，
落地點(diǎn)距離O點(diǎn)的距離：x′=x+$\frac{L}{2}$=$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$L；
答：（1）小球滑至B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）小球與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為$\frac{3R}{2L}$；
（3）如果傳送帶向右轉(zhuǎn)動(dòng)，小球從A處滑到傳送帶上受到向右摩擦力，落地點(diǎn)距離O點(diǎn)距離為：$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$L．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒、平拋運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，要具有分析物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力，要抓住平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由高度決定這一知識(shí)點(diǎn)．