Question

一根內(nèi)徑均勻，一端封閉，另一端開口的直玻璃管，長l=100cm，用一段長h=25cm的水銀柱將一部分空氣封在管內(nèi)，將其開口朝上豎直放置，被封住的氣柱長l₀=62.5cm．這時外部的大氣壓p₀=75cmHg，環(huán)境溫度t₀=-23℃，如圖所示，現(xiàn)在使氣柱溫度緩慢地逐漸升高，外界大氣壓保持不變．
（1）求溫度升高到多少℃時，水銀面恰能升到管口？
（2）試分析為保持管內(nèi)水銀柱不全部溢出，溫度能升高的最大值，并求出這個溫度下氣柱的長．

Answer 1

分析：水銀面恰能升到管口的過程中，氣體做等壓變化，根據(jù)蓋?呂薩定律解出所需的溫度；第二過程再根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程整理出一元二次方程，根據(jù)數(shù)學(xué)知識求解．

解答：解：選取封閉氣體為研究對象，在溫度升高過程中，可分成兩個過程研究．
（1）第一過程：從氣體開始升溫到水銀升到管口，此時氣體溫度為T，管的橫截面積為S，此過程為等壓過程，根據(jù)蓋?呂薩定律有：

l0S

T0

=

l′S

T

整理得：T=

l′

T0

其中：T₀=t₀+273=250K
l′=75cm
l₀=62.5cm．
代入數(shù)據(jù)解得：T=300（K）
t=T-273=27℃
（2）第二過程，溫度達到300K時，若繼續(xù)升溫，水銀開始溢出，設(shè)當(dāng)溫度升高到T′時，因水銀溢出使水銀減短了x，此過程氣體的三個狀態(tài)參量p、V、T均發(fā)生了變化．
p₁=p₀+h=75+25=100（cmHg）
V₁=l′s=75S
T₁=300K
p₂=（p₀+h-x）=（100-x）cmHg
V₂=（75+x）S
求解：T₂
根據(jù)狀態(tài)方程：

P1V1

T1

=

P2V2

T2

        
得：

100×75S

300

=

(100-x)(75+x)

T2

整理得：T₂=-

1

25

x²+x+300
根據(jù)數(shù)學(xué)知識得當(dāng)x=12.5m時T₂取得最大值，且最大值T_2max=306.25K即當(dāng)管內(nèi)氣體溫度升高到T_2max=33.25℃時，管內(nèi)氣柱長為87.5cm．
答：（1）溫度升高到27℃時，水銀面恰能升到管口．
（2）氣體溫度升高到T_2max=33.25℃時，管內(nèi)氣柱長為87.5cm．

點評：理想氣體狀態(tài)方程應(yīng)用的關(guān)鍵是找準(zhǔn)氣體的初狀態(tài)與末狀態(tài)各個參量，然后根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程列式求解．