Question

（12分）一根內(nèi)徑均勻，一端封閉，另一端開口的直玻璃管，長l=100cm，用一段長h=25cm的水銀柱將一部分空氣封在管內(nèi)，將其開口朝上豎直放置，被封住的氣柱長l₀=62.5cm。這時外部的大氣壓p₀=75cmHg,環(huán)境溫度t₀=－23℃，見下圖，現(xiàn)在使氣柱溫度緩慢地逐漸升高，外界大氣壓保持不變，試分析為保持管內(nèi)被封氣體具有穩(wěn)定的氣柱長，溫度能升高的最大值，并求出這個溫度下氣柱的長。

Answer 1

解析：

這是一個關(guān)于氣體在狀態(tài)變化過程中，狀態(tài)參量存在極值的問題，首先，對過程進(jìn)行分析，當(dāng)管內(nèi)氣體溫度逐漸升高時，管內(nèi)氣體體積要逐漸增大，氣體壓強(qiáng)不變，pV值在增大。當(dāng)上水銀面升到管口時，水銀開始從管內(nèi)排出，因為=C，當(dāng)管內(nèi)水銀開始排出后，空氣柱體積增大，而壓強(qiáng)減小，若pV值增大，則溫度T繼續(xù)升高，當(dāng)pV值最大時溫度最高。如果溫度再升高不再滿足=C，管內(nèi)氣體將不能保持穩(wěn)定長度。

選取封閉氣體為研究對象，在溫度升高過程中，可分成兩個過程研究。

第一過程：從氣體開始升溫到水銀升到管口，此時氣體溫度為T，管的橫截面積為S，此過程為等壓過程，根據(jù)蓋?呂薩克定律有：

=所以T=T₀

其中：T₀=t₀+273=250K  l′=75cm  l₀=62.5cm。

代入數(shù)據(jù)解得T=300（K）

第二過程，溫度達(dá)到300K時，若繼續(xù)升溫，水銀開始溢出，設(shè)當(dāng)溫度升高到T′時，因水銀溢出使水銀減短了x，此過程氣體的三個狀態(tài)參量p、V、T均發(fā)生了變化。p₁=p₀+h=75+25=100（cmHg）  V₁=l′s=7.5S

T₁=300K

p₂=（p₀+h－x）=（100－x）cmHg  V₂=（75+x）S

T₂=?

根據(jù)狀態(tài)方程=則有

=

所以T₂=（100－x）（75+x）=－x₂+x+300

根據(jù)數(shù)學(xué)知識得  當(dāng)x=12.5m時  T₂取得最大值，且最大值T_2max=306.25K即當(dāng)管內(nèi)氣體溫度升高到T_2max=33.25℃時，管內(nèi)氣柱長為87.5cm。