Question

20．研究表明，彈簧的彈性勢能E_P的表達式為E_P=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．如圖所示，質(zhì)量均為m的兩物體A、B用輕繩相連，將A用一輕彈簧懸掛在天花板上，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)．彈簧一直在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，現(xiàn)將A、B間的輕繩剪斷，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 輕質(zhì)繩子剪斷瞬間A的加速度為g
• B． 輕質(zhì)繩子剪斷后物體A最大動能出現(xiàn)在彈簧原長時
• C． 輕質(zhì)繩子剪斷后A的動能最大時，彈簧彈力做的功為$\frac{{3m}^{2}{g}^{2}}{2k}$
• D． 輕質(zhì)繩子剪斷后A能上升的最大高度為$\frac{2mg}{k}$

Answer 1

分析 先對A受力分析，再求出輕繩剪短瞬間A的加速度；輕質(zhì)繩子剪斷后物體A最大動能出現(xiàn)在合力等于零的位置；由此求出彈簧的伸長量，再由功能關系彈力做功；根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求A能上升的最大高度．

解答 解：A、A原來受到重力、彈簧的拉力和輕繩的拉力，輕繩的拉力大小等于B的重力mg，輕繩剪斷瞬間，彈簧的拉力不變，則A所受的合力大小與原來輕繩的拉力大小相等，方向相反，所以此瞬間A的加速度大小為a=$\frac{mg}{m}$=g，方向豎直向上，故A正確．
B、當A所受的合力為零時，速度最大，此時彈簧的彈力與重力大小相等、方向相反，則彈簧處于伸長狀態(tài)，故B錯誤．
C、輕質(zhì)繩子剪斷后A的動能最大時，彈簧彈力做的功等于彈性勢能的減少量．原來彈簧的伸長量為 x₁=$\frac{2mg}{k}$，速度最大時彈簧的伸長量為 x₂=$\frac{mg}{k}$
則此過程中，彈簧的彈力做功 W=$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}k{x}_{2}^{2}$=$\frac{{3m}^{2}{g}^{2}}{2k}$．故C正確．
D、輕質(zhì)繩子剪斷后A做簡諧運動，根據(jù)對稱性可知，A運動到最高點時加速度大小為g，方向豎直向下，此時彈簧的彈力為0，彈簧處于原長，則A能上升的最大高度為 h=x₁=$\frac{2mg}{k}$，故D正確．
故選：CD

點評 本題是力學中的瞬時問題和簡諧運動問題，抓住輕繩剪短瞬間彈簧的彈力不變，以及簡諧運動的對稱性是關鍵．要知道彈簧彈力做的功等于彈性勢能的減少量．