Question

10．如圖所示，在水平面內(nèi)建立一直角坐標(biāo)系xoy，虛線MN與X軸正方向成45°角將第一和第三象限各分成兩個(gè)區(qū)域．區(qū)域Ⅰ、Ⅱ分別存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．第二象限有水平向右、電場(chǎng)強(qiáng)度為E₁的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MN右側(cè)有水平向左、電場(chǎng)強(qiáng)度大小未知的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂．現(xiàn)將一帶電量為q，質(zhì)量為m的帶正電的粒子從P點(diǎn)由靜止釋放，粒子沿PQ做直線運(yùn)動(dòng)，從y軸上坐標(biāo)為（0，h）的Q點(diǎn)垂直y軸射入磁場(chǎng)I區(qū)，偏轉(zhuǎn)后從MN上某點(diǎn)D（D點(diǎn)未畫出）沿y軸負(fù)方向進(jìn)入電場(chǎng)E₂，粒子重力不計(jì)．求：
（1）釋放點(diǎn)P距Q點(diǎn)的距離L．
（2）欲使粒子從OM邊界穿出后經(jīng)過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)E₂由0點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)，電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大�。�
（3）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ后，從MN上某點(diǎn)射出時(shí)，該點(diǎn)與D點(diǎn)間的距離S的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合半徑公式求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出釋放點(diǎn)P距Q點(diǎn)的距離L．
（2）粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，抓住等時(shí)性求出電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大�。�
（3）設(shè)粒子從0點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與y軸負(fù)方向夾角為α，與MN夾角為θ，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)速度方向夾角的正切值是位移方向夾角的正切值的2倍，得出速度方向的夾角，根據(jù)平行四邊形定則求出射出時(shí)的速度，結(jié)合半徑公式和幾何關(guān)系求出該點(diǎn)與D點(diǎn)間的距離S的大�。�

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得，${E_1}qL=\frac{1}{2}m{v^2}$，
根據(jù)幾何關(guān)系知，$r=\frac{h}{2}$，
由洛倫茲力提供向心力，$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
聯(lián)立解得：$L=\frac{{{B^2}{h^2}q}}{{8m{E_1}}}$
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：$\frac{h}{2}=vt$，$\frac{h}{2}=\frac{1}{2}a{t^2}$，
$a=\frac{{{E_2}q}}{m}$
聯(lián)立解得：${E_2}=\frac{{q{B^2}h}}{m}$．
（3）設(shè)粒子從0點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與y軸負(fù)方向夾角為α，與MN夾角為θ，從MN上K點(diǎn)射出，射出時(shí)速度大小為v′，
$tanα=\frac{at}{v}$，$tan45°=\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{vt}=\frac{at}{2v}$，或直接寫出tanα=2
可得：${v^'}=\frac{v}{cosα}=\sqrt{5}v$，
則${r^'}=\frac{{m{v^'}}}{qB}=\frac{{m\sqrt{5}v}}{qB}=\frac{{\sqrt{5}h}}{2}$，
$tanθ=tan（α-45°）=\frac{1}{3}$，$sinθ=\frac{1}{{\sqrt{10}}}$
設(shè)射出點(diǎn)K與O點(diǎn)距離為s₁，D點(diǎn)與0點(diǎn)間距離為s₂
${s_1}=2{r^'}sinθ=\frac{{\sqrt{2}h}}{2}$，${s_2}=\frac{{\sqrt{2}h}}{2}$．
則D點(diǎn)與K點(diǎn)間距離$s={s_1}+{s_2}=\frac{{\sqrt{2}h}}{2}+\frac{{\sqrt{2}h}}{2}=\sqrt{2}h$．
答：（1）釋放點(diǎn)P距Q點(diǎn)的距離L為$\frac{{B}^{2}{h}^{2}q}{8m{E}_{1}}$．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大小為$\frac{q{B}^{2}h}{m}$．
（3）該點(diǎn)與D點(diǎn)間的距離S的大小為$\sqrt{2}h$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意分析過(guò)程，并結(jié)合各過(guò)程中涉及到的運(yùn)動(dòng)規(guī)律采用合理的物理規(guī)律求解．掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，以及掌握粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式是解題的關(guān)鍵．