Question

（2011?天門模擬）如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定在固定擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m的物體A，一輕細(xì)繩通過(guò)定滑輪，一端系在物體A上，另一端有一細(xì)繩套，細(xì)繩與斜面平行，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)在細(xì)繩套上輕輕掛上一個(gè)質(zhì)量也為m的物體B，A將在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．試求：
（1）物體A的最大速度值．
（2）物體B下降到最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)物體B的拉力值．

Answer 1

分析：（1）未掛物體B時(shí)，對(duì)于物體A由平衡條件求出此時(shí)彈簧的壓縮量，掛B后A沿斜面向上做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A加速度為0時(shí)，A速度最大，對(duì)AB分別根據(jù)平衡條件求出此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，進(jìn)而判斷在此過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能改變量，設(shè)最大速度為υ，對(duì)于A、B及彈簧組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒即可求出A的最大速度值；
（2）分別對(duì)A在最高點(diǎn)時(shí)和B在最低點(diǎn)時(shí)運(yùn)用牛頓第二定律求出繩子的拉力．

解答：解：（1）未掛物體B時(shí)，設(shè)彈簧壓縮量為x₁，對(duì)于物體A由平衡條件有：kx₁-mgsin30°=0
解得：x1=

mg

2k

①
掛B后A沿斜面向上做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A加速度為0時(shí)，A速度最大，設(shè)此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x₂，對(duì)于A由平衡條件有：T-kx₂-mgsin30°=0②
當(dāng)A加速度為0時(shí)，B加速度也為0，對(duì)于B由平衡條件：T-mg=0③
由②③解得：x2=

mg

2k

因x₁與x₂相等，故在此過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能改變量△E=0④
設(shè)最大速度為υ，對(duì)于A、B及彈簧組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒得：mg(x1+x2)-mg(x1+x2)sin30°=

1

2

mυ2⑤
將x₁、x₂代入⑤得：υ=

mg2 2k

（2）A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為x₁+x₂，A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量x=2x₂+x₁
A在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律：mgsin30°+kx-T'=ma
B在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律：T'-mg=ma
解得：T′=

3

2

mg
答：（1）物體A的最大速度為

mg2 2k

．
（2）物體B下降到最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)物體B的拉力為

3

2

mg．

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)物體的受力分析判斷運(yùn)動(dòng)情況，知道當(dāng)A加速度為0時(shí)，A速度最大，此時(shí)AB受力都平衡，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，難度適中．