Question

20．如圖甲所示，2013年北京時間12月6日17時47分，“嫦娥三號”經(jīng)過地月轉(zhuǎn)移軌道后，經(jīng)過兩次近月制動，進入距離月球表面高度為100km的環(huán)月圓軌道運動，經(jīng)過第三次近月制動后進入橢圓軌道，并于12月10日到達離月球表面高度為15km的虹灣區(qū)上空，著陸器準備軟著陸，已知月球的半徑為1740km，月球表面的重力加速度為1.6m/s²．
（1）求“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點的加速度和著陸器在橢圓軌道近月點的加速度的比值．
（2）如圖乙所示，如果我們把“嫦娥三號”的著陸器在虹灣區(qū)上空100m之后的軟著陸過程簡化為運動軌跡A→B→C，AB直線段與豎直方向的夾角為60°，AB階段的制動力恒定且與運動軌跡垂直，著陸器在A點處的速度可視為零，在B點處關(guān)閉發(fā)動機，則著陸器在該軟著陸過程所用的總時間為多少？著陸前瞬間的速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點的加速度和著陸器在橢圓軌道近月點的加速度，再求比值；
（2）根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出A→B的時間，以及B點的速度．再由運動學公式求出B→C的時間，即可求出軟著陸的總時間；根據(jù)動能定理即可求出著陸前瞬間的速度大�。�

解答 解：（1）環(huán)月圓軌道半徑${R}_{1}^{\;}=1740km+100km=1840km$，橢圓軌道的近月點到月心的距離為${R}_{2}^{\;}=1740km+15km=1755km$
則“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點時由牛頓第二定律有：${F}_{1}^{\;}=G\frac{mM}{{R}_{1}^{2}}=m{a}_{1}^{\;}$
著陸器在橢圓軌道近月點時由牛頓第二定律有：${F}_{2}^{\;}=G\frac{mM}{{R}_{2}^{2}}=m{a}_{2}^{\;}$
故有$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}=\frac{175{5}_{\;}^{2}}{184{0}_{\;}^{2}}=0.91$
（2）A→B過程中$a=\frac{{F}_{合}^{\;}}{m}={g}_{月}^{\;}cos60°=0.8m/{s}_{\;}^{2}$
著陸器到達B點的時間為${t}_{1}^{\;}$，有$192m=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，得${t}_{1}^{\;}=4\sqrt{30}s$
到達B點的速度為${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=\frac{16\sqrt{30}}{5}m/s$
B→C過程中，${v}_{1y}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos60°=\frac{8\sqrt{30}}{5}m/s$
著陸前瞬間的豎直速度為${v}_{2y}^{\;}$，則
${v}_{2y}^{2}-{v}_{1y}^{2}=2{g}_{月}^{\;}×4m$，得${v}_{2y}^{\;}=\frac{8\sqrt{35}}{5}m/s$
則從B→C過程的運動時間${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{2y}^{\;}-{v}_{1y}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}$
著陸器軟著陸的總時間為$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=22.35s$
著陸前由動能定理有$m{g}_{月}^{\;}h=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得$v=8\sqrt{5}m/s$
答：（1）“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點的加速度和著陸器在橢圓軌道近月點的加速度的比值0.91．
（2）則著陸器在該軟著陸過程所用的總時間為22.35s，著陸前瞬間的速度大小為8$\sqrt{5}$m/s

點評 本題考查天體運動、牛頓第二定律和曲線運動的綜合應用，意在考查考生對物理過程的分析綜合能力和運算能力，關(guān)鍵是理解題意，物理情境搞清楚，然后選擇合適的規(guī)律列式．