Question

2．我國將于2022年舉辦冬奧會，跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一，如圖為一跳臺滑雪賽道的簡化示意圖，圖中傾角θ=37°的長直助滑道AB長為L=100m，與半徑為R=24m的圓弧軌道BC相切于B點，過圓弧軌道最低點C的切線水平，著陸坡CD傾角為α（tanα=$\frac{1}{2}$），質量為m=60kg的運動員（含滑板）可視為質點，從A點由靜止滑下，在C點水平飛出后落在著陸坡上的D點，不計一切摩擦和空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求（保留三位有效數(shù)字）．
（1）運動員到達圓弧滑道最低點C時對軌道的壓力；
（2）運動員落在著陸坡D點時的動能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出運動員到達C點的速度，結合牛頓第二定律求出支持力，從而得出運動員對C點的壓力．
（2）運動員離開C點后做平拋運動，結合平拋運動的規(guī)律求出D點的速度，從而得出運動員到達D點的動能．

解答 解：（1）由幾何知識得，BC圓弧對應的圓心角也為θ=37°，設運動員運動到C點時速度大小為v_C，運動員從A點到C點的過程中，由動能定理可得，
mgLsinθ+mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$      ①
設運動員在C點受到的支持力大小為F_N，在C點，根據(jù)牛頓第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$   ②
由①②式代入數(shù)據(jù)可得F_N=3.84×10³N．
由牛頓第三定律可得，運動員到達圓弧軌道最低點C時對軌道的壓力F_N′=F_N=3.84×10³N．
（2）由①式可得運動員從C點飛出時的速度v_C=36m/s，運動員在空中做平拋運動落在D點，位移偏角為α，設運動員落在D點的速度為v_D，平拋運動的時間為t，水平位移為x，豎直位移為y，
根據(jù)位移關系有：$tanα=\frac{y}{x}$   ③
由平拋運動的規(guī)律有：x=v_Ct  ④
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$    ⑤
運動員在D點的分速度v_y=gt    ⑥
根據(jù)平行四邊形定則有：${{v}_{D}}^{2}={{v}_{C}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}$   ⑦
運動員到達D點的動能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$   ⑧
由③④⑤⑥⑦⑧代入數(shù)據(jù)解得E_k=7.78×10⁴J．
答：（1）運動員到達圓弧滑道最低點C時對軌道的壓力為3.84×10³N；
（2）運動員落在著陸坡D點時的動能為7.78×10⁴J．

點評 本題考查了動能定理與圓周運動和平拋運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．