Question

5．如圖所示，長木板置于光滑水平面上，在長木板的左端，有一個可視為質(zhì)點的物塊，長木板的質(zhì)量M=2kg，物塊的質(zhì)量m=1kg，物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，一開始物塊與木板均靜止，現(xiàn)對物塊施加一個斜向右上的恒力F=10N，恒力F與水平方向成53°角，力F作用t=1s立即撤去恒力F．
（1）撤去恒力F瞬間，木板M和物塊m的速度大�。�
（2）若要物塊不從長木板上脫落，長木板的長度L至少為多少？（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）撤去恒力F前對物塊和木板進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律計算出兩者的加速度，結(jié)合運動學公式計算出兩者在1s末的速度，在此過程中要注意木板所受的滑動摩擦力充當其合力
（2）根據(jù)運動學公式計算出1s內(nèi)物塊和木板相對地面的位移x₁、x₂，由幾何知識可知物塊相對木板的位移s₁=x₁-x₂
（3）撤去恒力后物塊在滑動摩擦力作用下做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律計算出兩者的加速度，要注意此時物塊和木板所受摩擦力要發(fā)生變化
（4）物塊不從木板脫落的條件是物塊到達木板左端時的速度不能大于木板的速度
（5）計算出自撤去外力后物塊和木板相對地面的位移x₃、x₄，由此可以計算出此過程中物塊相對于木板的位移s₂=x₃-x₄，則木板的長度L=s₁+s₂

解答 解：（1）設(shè)撤去恒力F前物塊所受摩擦力為f₁、木板所受摩擦力為f₂；物塊所受支持力為N₁、物塊對斜面的壓力為F_N1，物塊的加速度大小為a₁，木板的加速度大小為a₂；撤去力F時物塊的速度為v₁、木板的速度為v₂；撤去力F時物塊相對于地面的位移為x₁、木板相對于地面的位移為x₂、物塊相對木板的位移為s₁；
撤去恒力F前對物塊進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得：
Fcos53°-f₁=ma₁…①
f₁=μF_N1…②
F_N1=N₁…③
N₁=Fsin53°-mg…④
由②③④可得：f₁=μ（mg-Fsin53°）=1N…⑤
將⑤代入①可得：a₁=5m/s²；
根據(jù)v=v₀+at、x=$\frac{1}{2}$at²可得撤去恒力F時物塊的速度v₁和物塊相對地面的位移x₁：
v₁=a₁t
代入數(shù)據(jù)得：v₁=5m/s
x₁=$\frac{1}{2}$at₁²
代入數(shù)據(jù)得：x₁=2.5m     
撤去恒力F前對木板進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得：
f₂=Ma₂…⑥
由牛頓第三定律可知f₂=f₁…⑦
由⑥⑦代入數(shù)據(jù)可得：a₂=0.5m/s²
根據(jù)v=v₀+at、x=$\frac{1}{2}$at²可得撤去恒力F時物塊的速度v₁和物塊相對地面的位移x₁：
 v₂=a₂t
代入數(shù)據(jù)得：v₂=0.5m/s
x₂=$\frac{1}{2}$at₂²
代入數(shù)據(jù)得：x₂=0.25m     

結(jié)合甲圖可知：s₁=x₁-x₂=2.25m
（2）設(shè)撤去恒力F后物塊所受摩擦力為f₃、木板所受摩擦力為f₄；物塊所受支持力為N₂、物塊對斜面的壓力為F_N2，物塊的加速度大小為a₃，木板的加速度大小為a₄；從撤去恒力經(jīng)時間t₂物塊到達木板最左端，此時物塊、木板的速度為v₃、v₄；t₂時間內(nèi)物塊相對于地面的位移為x₃、木板相對于地面的位移為x₄、物塊相對木板的位移為s₂；
      撤去恒力F后對物塊進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可得：
       f₃=ma₃
       f₃=μF_N2
       F_N2=mg
    由以上三式可得：f₃=μmg=5N，a₃=μg=5m/s²
    由運動學公式v=v₀+at可得：
   v₃=5-5t₂…⑧
 撤去恒力F后對木板進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可得：
       f₄=Ma₄
       f₄=f₃
      由以上兩式可得：a₄=2.5m/s²
 由運動學公式v=v₀+at可得：
   v₄=0.5+2.5t₂…⑨
根據(jù)運動學知識可知：v₃≤v₄是物塊不從木板上脫落的條件，當v₃=v₄時木板的長度L最短，
由⑧⑨可得：5-5t₂=0.5+2.5t₂
解得：t₂=0.6s
由運動學公式x=v₀t+$\frac{1}{2}$at²可得：
x₃=5t₂-$\frac{1}{2}$×5t₂²
=2.1m
x₄=0.5t₂+$\frac{1}{2}$×2.5t₂²
=0.75m

結(jié)合乙圖可知：s₂=x₃-x₄=1.35m
則板的長度L=s₁+s₂=3.6m，故要使物塊不從木板上脫落，木板的長度至少為3.6m
答：（1）撤去恒力F瞬間，木板M和物塊m的速度大小分別為5m/s、0.5m/s
       （2）若要物塊不從長木板上脫落，長木板的長度L至少為3.6m

點評 （1）此題是典型的多過程問題，在分析是要注意物塊和木板合力的變化
（2）正確的畫出運動草圖，并算出物塊和木板的相對位移是關(guān)鍵
（3）物塊不從木板脫落的條件是物塊的速度不大于木板的速度，而不是物塊的速度為零
（4）通過本題要明確理解物塊不從木板脫落的條件，并在類似的問題中加以應(yīng)用