Question

3．在日常生活中，我們經(jīng)�？吹轿矬w與物體間發(fā)生反復(fù)的碰撞．現(xiàn)如今有一塊表面水平的木板，被放在光滑的水平地面上．它的右端與墻之間有一段距離，其長(zhǎng)度L為0.08m．另有一小物塊以2m/s 的初速度v₀從木板的左端滑上它．已知木板和小物塊的質(zhì)量均為1kg，小物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，木板足夠長(zhǎng)使得在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊始終不與墻接觸，木板與墻碰后木板以原速率反彈，碰撞時(shí)間極短可忽略，取g=10m/s²．求：
（1）從小物塊滑上木板到二者達(dá)到共同速度時(shí)，木板與墻碰撞的總次數(shù)和所用的時(shí)間；
（2）達(dá)到共同速度時(shí)木板右端與墻之間的距離．

Answer 1

分析 本題中開(kāi)始小木塊受到向后的摩擦力，做勻減速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)木板受到向前的摩擦力做勻加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)長(zhǎng)木板反彈后，小木塊繼續(xù)勻減速前進(jìn)，長(zhǎng)木板勻減速向左運(yùn)動(dòng)，一直回到原來(lái)位置才靜止；之后長(zhǎng)木板再次向右加速運(yùn)動(dòng)，小木塊還是勻減速運(yùn)動(dòng)；長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)具有重復(fù)性，由于木板長(zhǎng)度可保證物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與墻接觸，故直到兩者速度相同，一起與墻壁碰撞后反彈；之后長(zhǎng)木板向左減速，小木塊向右減速，兩者速度一起減為零

解答 解：（l）物塊滑上木板后，在摩擦力作用下，木板從靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)木板加速度為a，經(jīng)歷時(shí)間T后與墻第一次碰撞．碰撞時(shí)的速度為v₁，則
μmg=ma    …①
$L=\frac{1}{2}a{T}^{2}$ …②
v₁=at     …③
聯(lián)立①②③解得：
T=0.4s
v₁=0.4m/s…④
在物塊與木板兩者達(dá)到共同速度前，在每?jī)纱闻鲎仓�間，木板受到物塊對(duì)它的摩擦力作用而做加速度恒定的勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因而木板與墻相碰后將返回至初態(tài)，所用時(shí)間也為T(mén)．
設(shè)在物塊與木板兩者達(dá)到共同速度v前木板共經(jīng)歷n次碰撞，則有：
v=v₀-（2nT+△t）a=a△t…⑤
式中△t是碰撞n次后木板從起始位置至達(dá)到共同速度時(shí)所需要的時(shí)間．
由于最終兩個(gè)物體一起以相同的速度勻速前進(jìn)，故⑤式可改寫(xiě)為：
2v=v₀-2nT…⑥
由于木板的速率只能位于0到v₁之間，故有：
0≤v₀-2nT≤2v₁…⑦
求解上式得：1.5≤n≤2.5
由于n是整數(shù)，故有：n=2 …⑧
由于速度相同后還要再一起與墻壁碰撞一次，故一共碰撞三次；再由①⑤⑧得：
△t=0.2s  …⑨
v=0.2m/s  …⑩
從開(kāi)始到物塊與木板兩者達(dá)到共同速度所用的時(shí)間為：
t=4T+△t=1.8s …（11）
即從物塊滑上木板到兩者達(dá)到共同速度時(shí)，木板與墻共發(fā)生三次碰撞，所用的時(shí)間為1.8s．
（2）物塊與木板達(dá)到共同速度時(shí)，木板與墻之間的距離為：$s=L-\frac{1}{2}a△{t}^{2}$…（12）
聯(lián)立 ①與（12）式，并代入數(shù)據(jù)得：s=0.06m…（13）
即達(dá)到共同速度時(shí)木板右端與墻之間的距離為0.06m．
答：（1）從小物塊滑上木板到二者達(dá)到共同速度時(shí)，木板與墻碰撞的總次數(shù)為2次，所用的時(shí)間為1.8s；
（2）達(dá)到共同速度時(shí)木板右端與墻之間的距離為0.06m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分清出長(zhǎng)木板的運(yùn)動(dòng)為往復(fù)運(yùn)動(dòng)，具有重復(fù)性，而小木塊的運(yùn)動(dòng)是勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解