Question

如圖所示，A為位于一定高度處的質(zhì)量為m的小球，B為位于水平地面上的質(zhì)量為M的長(zhǎng)方形空心盒子，盒子足夠長(zhǎng)，且M = 2m，盒子與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2．盒內(nèi)存在著某種力場(chǎng)，每當(dāng)小球進(jìn)入盒內(nèi)，該力場(chǎng)將同時(shí)對(duì)小球和盒子施加一個(gè)大小為F=Mg、方向分別豎直向上和向下的恒力作用；每當(dāng)小球離開盒子，該力F同時(shí)立即消失．盒子的上表面開有一系列略大于小球的小孔，孔間距滿足一定的關(guān)系，使得小球進(jìn)出盒子的過(guò)程中始終不與盒子接觸．當(dāng)小球A以v=1m/s的速度從孔1進(jìn)入盒子的瞬間，盒子B恰以v₀=6m/s的速度向右滑行．取重力加速度g=10m/s²，小球恰能順次從各個(gè)小孔進(jìn)出盒子．試求：

（1）小球A從第一次進(jìn)入盒子到第二次進(jìn)入盒子所經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）盒子上至少要開多少個(gè)小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；
（3）從小球第一次進(jìn)入盒子至盒子停止運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，盒子通過(guò)的總路程．

Answer 1

（1）T=0.4s   （2）11個(gè)    （3）5.8m

試題分析：（1）A在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有
解得 a = g
A在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間      A在盒子外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 
A從第一次進(jìn)入盒子到第二次進(jìn)入盒子的時(shí)間
（2）小球在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，盒子的加速度=4m/s²   
小球在盒子外運(yùn)動(dòng)時(shí)，盒子的加速度
小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期盒子減少的速度為
從小球第一次進(jìn)入盒子到盒子停下，小球運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為
故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數(shù)至少為2n+1個(gè)，即11個(gè)．
（3）小球第一次在盒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，盒子前進(jìn)的距離為m
小球第一次從盒子出來(lái)時(shí)，盒子的速度m/s
小球第一次在盒外運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，盒子前進(jìn)的距離為 =1m
小球第二次進(jìn)入盒子時(shí)，盒子的速度m/s
小球第二次在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，盒子前進(jìn)的距離為 m
小球第二次從盒子出來(lái)時(shí)，盒子的速度 m/s
小球第二次在盒外運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，盒子前進(jìn)的距離為 m
…………
分析上述各組數(shù)據(jù)可知，盒子在每個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的距離為一等差數(shù)列，公差d＝0.12m．且當(dāng)盒子停下時(shí)，小球恰要進(jìn)入盒內(nèi)，最后0.2s內(nèi)盒子通過(guò)的路程為0.04m．
所以從小球第一次進(jìn)入盒子至盒子停止運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，盒子通過(guò)的總路程為