Question

有一個(gè)帶正電的小球，質(zhì)量為m、電量為q，靜止在固定的絕緣支架上．現(xiàn)設(shè)法給小球一個(gè)瞬時(shí)的初速度υ₀使小求水平飛出，飛出時(shí)小球的電量沒(méi)有改變．同一豎直面內(nèi)，有一個(gè)豎直固定放置的圓環(huán)（圓環(huán)平面保持水平），環(huán)的直徑略大于小球直徑，如圖所示．要使小球能準(zhǔn)確進(jìn)入圓環(huán)，可在空間分布勻強(qiáng)電場(chǎng)或勻強(qiáng)磁場(chǎng)（勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)可單獨(dú)存在，也可同時(shí)存在），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩種分布方式，并求出：
（1）相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E或磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；
（2）相應(yīng)的小球到圓環(huán)的時(shí)間t．（若加勻強(qiáng)電場(chǎng)，則勻強(qiáng)電場(chǎng)限制在豎直面內(nèi)；若加勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則勻強(qiáng)磁場(chǎng)限制在垂直紙面情況．已知υ₀＞

2gs

，小球受重力不能忽略）

Answer 1

分析：（1）方案1：加豎直向下方向分布的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，可知小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．要使小球能準(zhǔn)確進(jìn)入圓環(huán)，小球的水平位移大小為2S，豎直位移大小為S，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出E；方案2：加豎直向上勻強(qiáng)電場(chǎng)，在與圓環(huán)中心相距S處加垂 直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，合使電場(chǎng)力與重力平衡，使小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得到半徑，即可由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）電場(chǎng)中，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間；磁場(chǎng)中，根據(jù)軌跡的圓心角，即可求出時(shí)間與周期的關(guān)系，得到時(shí)間．

解答：解：方案1：
在豎直向下方向分布勻強(qiáng)電場(chǎng)E，則小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．則有
   水平方向：2S=v₀t  ①
   豎直方向：S=

1

2

ayt2 ②，mg+qE=ma ③
解得 t=

2S

v0

，E=

m( v 2 0 -2gS)

2Sq

方案2：
加豎直向上勻強(qiáng)電場(chǎng)，在與圓環(huán)中心相距S處加垂 直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（如圖所示）
豎直方向           mg=qE
解得 E=

mg

q

帶電小球從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到進(jìn)入磁場(chǎng)：t₁=

S

v0

進(jìn)入磁場(chǎng)后帶電小球在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)知，軌跡半徑為R=S
則  qv₀B=m

v 2 0

R

得：B=

mv0

qS

    t₂=

1

4

T=

1

4

?

2πm

qB

=

πS

2v0

小球到達(dá)圓環(huán)總時(shí)間t=t₁+t₂=

S

v0

（1+

π

2

）    
答：方案1：在豎直向下方向分布勻強(qiáng)電場(chǎng)E，E大小為

m( v 2 0 -2gS)

2Sq

，小球到圓環(huán)的時(shí)間t是

2S

v0

；方案2：加豎直向上勻強(qiáng)電場(chǎng)，在與圓環(huán)中心相距S處加垂 直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，小球到達(dá)圓環(huán)總時(shí)間是

S

v0

（1+

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是開(kāi)放性的題目，只要答題方案合理就行，答案不是唯一的．本題是帶電體在電場(chǎng)中類(lèi)平拋、磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法處理類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，畫(huà)軌跡處理圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，都是常用的方法和思路．