Question

7．如圖所示，兩個(gè)半圓柱A、B緊靠著靜置于水平地面上，其上有一光滑圓柱C，三者半徑均為R．C的質(zhì)量為m，A、B的質(zhì)量都為$\frac{m}{2}$，與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ．現(xiàn)用水平向右的力拉A，使A緩慢移動(dòng)，直至C恰好降到地面．整個(gè)過程中B保持靜止．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g．求：
（1）未拉A時(shí)，C受到B作用力的大小F；
（2）動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值μ_min；
（3）A移動(dòng)的整個(gè)過程中，拉力做的功W．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件求解C受到B作用力的大小F；
（2）先根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件求解B受到C水平方向最大壓力，再求出B對(duì)地面的壓力，根據(jù)摩擦力的計(jì)算公式求解；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求解A移動(dòng)的整個(gè)過程中，拉力做的功W．

解答 解：（1）C受力平衡，如圖所示：

根據(jù)平衡條件可得：2Fcos30°=mg，
解得C受到B作用力的大小為：F=$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$；
（2）C恰好降落到地面時(shí)，B對(duì)C支持力最大為F_m，如圖所示，

則根據(jù)力的平衡可得：2F_mcos60°=mg，
解得：F_m=mg；
所以最大靜摩擦力至少為：f_m=F_mcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}mg$，
B對(duì)的地面的壓力為：F_N=m_Bg+$\frac{1}{2}{m}_{C}g$=mg，
B受地面的摩擦力為：f=μmg，
根據(jù)題意有：f_m=f，
解得：μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值為：μ_min=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）C下降的高度為：h=$（\sqrt{3}-1）R$，
A的位移為：x=$2（\sqrt{3}-1）R$，
摩擦力做功的大小為：W_f=fx=2$（\sqrt{3}-1）μmgR$，
根據(jù)動(dòng)能定理有：W-W_f+mgh=0，
解得：W=$（2μ-1）（\sqrt{3}-1）mgR$．
答：（1）未拉A時(shí)，C受到B作用力的大小為$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$；
（2）動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）A移動(dòng)的整個(gè)過程中，拉力做的功W為$（2μ-1）（\sqrt{3}-1）mgR$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了共點(diǎn)力的平衡和動(dòng)能定理，解答此類問題的一般步驟是：確定研究對(duì)象、進(jìn)行受力分析、利用平行四邊形法則進(jìn)行力的合成或者是正交分解法進(jìn)行力的分解，然后在坐標(biāo)軸上建立平衡方程進(jìn)行解答．運(yùn)用動(dòng)能定理解題時(shí)，首先要選取研究過程，然后分析在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中哪些力做正功、哪些力做負(fù)功，初末動(dòng)能為多少，根據(jù)動(dòng)能定理列方程解答．