Question

14．如圖所示，水平軌道BC的左端$\frac{1}{4}$圓軌道相切于B點(diǎn)，右端與一傾角為30°的光滑斜面軌道在C點(diǎn)平滑連接（即物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度的大小不變），斜面頂端固定一輕質(zhì)彈簧，一質(zhì)量為2kg的滑塊從圓弧軌道的頂端A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)水平軌道后滑上斜面并壓縮彈簧，第一次可將彈簧壓縮至D點(diǎn)，已知光滑圓軌道的半徑R=0.45m，水平軌道BC長(zhǎng)為0.4m，其動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，光滑斜面軌道上CD長(zhǎng)0.6m，g取10m/s²，求：
（1）滑塊第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）整個(gè)過(guò)程中彈簧具有最大的彈性勢(shì)能；
（3）滑塊在水平軌道BC上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間及滑塊最終停在何處？

Answer 1

分析 （1）由A到B過(guò)程由動(dòng)能定理可求得B點(diǎn)的速度，再由向心力公式可求得B點(diǎn)的作用力；
（2）對(duì)AD過(guò)程由動(dòng)能定理可求得彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）對(duì)BC過(guò)程由牛頓第二定律可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；再由動(dòng)能定理可求得物體停在的位置．

解答 解：（1）滑塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得：
$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=3m/s，
滑塊在B點(diǎn)有：F-mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F=60N．
由牛頓第三定律可得，物塊對(duì)B點(diǎn)的壓力為：F′=F=60N．
（2）滑塊第一次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，彈簧具有最大的彈性勢(shì)能E_p，滑塊從A點(diǎn)到D點(diǎn)，設(shè)該過(guò)程彈簧彈力對(duì)滑塊做的功為W，由動(dòng)能定理可得：
mgR-μmgL_BC-mgL_CDsin30°+W=0，
E_p=-W，
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=1.4J．
（3）將滑塊在BC段的運(yùn)動(dòng)全程看作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：a=μg=2m/s²，
則滑塊在水平軌道BC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\frac{{v}_{B}}{a}=\frac{3}{2}s=1.5s$，
滑塊最終停止在水平軌道BC間，設(shè)滑塊在BC段運(yùn)動(dòng)的總路程為s，從滑塊第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)到最終停下來(lái)的過(guò)程，由動(dòng)能定理可得：$-μmgs=0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：s=2.25m．
結(jié)合BC段的長(zhǎng)度可知，滑塊最終停止在BC間距B點(diǎn)0.15m處．
答：（1）滑塊第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為60N；
（2）整個(gè)過(guò)程中彈簧具有最大的彈性勢(shì)能為1.4J；
（3）滑塊在水平軌道BC上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為1.5s，滑塊最終停在BC間距B點(diǎn)0.15m處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理及牛頓第二定律等內(nèi)容，要注意正確受力分析；對(duì)于不涉及時(shí)間的問(wèn)題，優(yōu)先選用動(dòng)能定理．