Question

（10分）如圖所示，質(zhì)量為m的小球，由長為l的細(xì)線系住，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失。求釘子位置在水平線上的取值范圍。

   

Answer 1

解析：

這是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能兩部分知識(shí)綜合應(yīng)用的典型問題．題中涉及兩個(gè)臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個(gè)是在圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度必須不小于（r是做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑）．設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，設(shè)DE=x₁，則：AD=

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r₁=l－AD= l－    ①（2分）

當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受到的最大拉力為F，此時(shí)小球的速度v，由牛頓第二定律有：

F－mg=                                ②      （1分）

結(jié)合F≤9mg可得：≤8mg                ③     （1分）

由機(jī)械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²

即：v²=2g (+r₁)                         ④         （1分）

由①②③式聯(lián)立解得：x₁≤l              ⑤         （2分）

隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越來越大。轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度越小，當(dāng)這個(gè)瞬時(shí)速度小于臨界速度時(shí)，小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了。

設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓的最高點(diǎn)，設(shè)EG=x₂，如圖，則：AG=

r₂=l－AG= l－                    ⑥        （1分）

在最高點(diǎn)：mg≤                      ⑦        （1分）

由機(jī)械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²        ⑧                （1分）

由④⑤⑥聯(lián)立得：x₂≥l                    ⑨                 （2分）

在水平線上EF上釘子的位置范圍是：l≤x≤l                  （2分）