Question

2．如圖所示，MNPQ在同一豎直平面內(nèi)，其中，MP段在水平地面上，PQ為半徑為R內(nèi)壁光滑的半圓軌道，O為圓心，POQ為豎直的直徑．N是MP間的一點，NP段粗糙，長為L．可視為質(zhì)點的小物塊A，與NP間的動摩擦因數(shù)為μ．A自N點開始以水平初速度v₀沿NP方向運動，重力加速度為g．
（1）要使A能沿圓軌道到達Q點，求v₀的最小值v_min；
（2）當(dāng)A以v₀=2v_min從N點出發(fā)，從Q飛出，求A落地點到P的距離．

Answer 1

分析 （1）在最高點，由牛頓第二定律和動能定理聯(lián)立可求v₀的最小值；
（2）動能定理和平拋運動的規(guī)律相結(jié)合可求解A落地點到P的距離．

解答 解：（1）要使A能沿圓軌道到達Q點，則在Q點剛好由重力提供向心力，由牛頓第二定律可得：
mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$
解得：v_Q=$\sqrt{gR}$
從N到Q，由動能定理可得：
-μmgL-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入解得：v₀=$\sqrt{5gR+2μgL}$
即要使A能沿圓軌道到達Q點，v₀的最小值為$\sqrt{5gR+2μgL}$；
（2）當(dāng)A以v₀=2v_min從N點出發(fā)，經(jīng)過最高點的速度由動能定理可得：
-μmgL-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{Q}^{′2}$-$\frac{1}{2}$m（2v₀）²
代入解得：${v}_{Q}^{′}$=$\sqrt{8μg（R-L）+16gR}$
小物塊經(jīng)過Q點后做平拋運動，
在豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²
在水平方向上：x=${v}_{Q}^{′}$t
聯(lián)立解得：x=$\sqrt{16μR（R-L）+32{R}^{2}}$．
答：（1）要使A能沿圓軌道到達Q點，v₀的最小值為$\sqrt{5gR+2μgL}$；
（2）A落地點到P的距離為$\sqrt{16μR（R-L）+32{R}^{2}}$．

點評 本題考查動能定理和平拋運動相結(jié)合的問題，解答此題的關(guān)鍵是：①動能定理的正確運用；②輕繩和輕桿兩種模型在最高點的臨界值．