Question

兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間距為l．導軌上面橫放著兩根導體棒PQ和MN，構成矩形回路，如圖所示．導體棒PQ的質量為m、MN的質量為2m，兩者的電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計．在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B．設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行．開始時，棒MN靜止處于距導軌右端為d處，PQ棒以大小為v₀的初速度從導軌左端開始運動（如圖）．忽略回路的電流對磁場產(chǎn)生的影響．
（1）求PQ棒剛開始運動時，回路產(chǎn)生的電流大�。�
（2）若棒MN脫離導軌時的速度大小為

v0

4

，則回路中產(chǎn)生的焦耳熱是多少？
（3）若原來回路中靠近MN棒一側的導軌中串聯(lián)接有一個恒流電源，該電源使回路中的電流大小始終保持為I₀（沿PMNQP方向），試討論MN棒脫離導軌時速度v的大小與d的關系．

Answer 1

分析：（1）本題中兩根導體棒的運動情況：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應電流，由法拉第電磁感應定律，求出棒PQ產(chǎn)生的電動勢，再求出回路產(chǎn)生的電流大��；
（2）ab棒受到的與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動．在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速，兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動，由于平行金屬導軌位于同一水平面且兩棒均可沿導軌無摩擦地滑行，故由兩棒組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，系統(tǒng)動量守恒mv₀=2mv，再由能量守恒求出焦耳熱的關鍵；
（3）回路中的電流始終保持為I₀，則棒PQ和MN所受的安培力大小保持不變．若d足夠長，則棒PQ先向右勻減速運動再向左勻加速運動，返回軌道左端時速度大小仍為v₀，而這個過程棒MN一直向右勻加速運動，使用動量守恒定律和動能定理可以求出結果．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應定律，棒PQ產(chǎn)生的電動勢E=Blv₀①
則回路產(chǎn)生的電流大小I=

Blv0

2R

②
（2）棒PQ和MN在運動過程中始終受到等大反向的安培力，系統(tǒng)的動量守恒，得mv0=mv1+2m?

v0

4

③
由能量守恒定律，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

-

1

2

2m(

v0

4

)2④
解得Q=

5

16

m

v

2 0

⑤
（3）回路中的電流始終保持為I₀，則棒PQ和MN所受的安培力大小保持不變．若d足夠長，則棒PQ先向右勻減速運動再向左勻加速運動，返回軌道左端時速度大小仍為v₀，而這個過程棒MN一直向右勻加速運動，由動量守恒定律得mv0=m(-v0)+2m

v

′ 2

⑥
設這個過程棒MN的位移為x，由動能定理得I0Blx=

1

2

2mv′

2 2

⑦
解得x=

m v 2 0

I0Bl

⑧
討論：
①當d＜

m v 2 0

I0Bl

時，棒MN在導軌上一直向右勻加速運動直到脫離導軌，由動能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脫離導軌時的速度v=

I0Bld m

⑨
②當d≥

m v 2 0

I0Bl

時，棒PQ先從導軌左端脫離導軌，棒MN之后保持勻速運動直到脫離導軌，脫離導軌時的速度v=v'₂=v₀⑩
答：（1）PQ棒剛開始運動時，回路產(chǎn)生的電流I=

Blv0

2R

；
（2）若棒MN脫離導軌時的速度大小為

v0

4

，則回路中產(chǎn)生的焦耳熱是Q=

5

16

m

v

2 0

；
（3）MN棒脫離導軌時速度v的大小與d的關系．①當d＜

m v 2 0

I0Bl

時，棒MN在導軌上一直向右勻加速運動直到脫離導軌，由動能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脫離導軌時的速度v=

I0Bld m

②當d≥

m v 2 0

I0Bl

時，棒PQ先從導軌左端脫離導軌，棒MN之后保持勻速運動直到脫離導軌，脫離導軌時的速度v=v'₂=v₀．

點評：點評：第一問半徑簡單，第二問是動量守恒定律、牛頓第二定律及能量守恒定律在電磁感應現(xiàn)象中的應用問題，分析兩棒組成的系統(tǒng)在運動過程中是不是合外力為零或者內力遠大于外力的系統(tǒng)總動量守恒的條件，從而為確定兩棒最后的末速度找到解決途徑是關鍵，之后分析這類電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化較易：系統(tǒng)減少的動能轉化為回路的焦耳熱；第三問較為復雜：是動生電動勢、動量守恒定律、牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律綜合的力電綜合問題，故本題屬于難題．