Question

6．如圖，光滑的水平面上有兩枚鐵釘A和B，A、B相距0.1m，長(zhǎng)1m的柔軟細(xì)繩栓在A上，另一端系一質(zhì)量為0.5kg的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)繩拉緊，給小球以2m/s的垂直細(xì)繩方向的水平速度，使小球作圓周運(yùn)動(dòng)，由于釘子B的存在，使得細(xì)繩慢慢地纏在A、B上．若繩能承受的最大拉力為4.1N．整個(gè)過程小球速度大小不變．球：
（1）剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)小球受到的拉力大小？
（2）小球剛開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期大�。�
（3）從小球開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)繩斷所用的時(shí)間？（保留3位有效數(shù)值）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)F=$\frac{m{v}^{2}}{r}$求得繩子的拉力
（2）根據(jù)T=$\frac{2πL}{v}$求得周期
（3）根據(jù)向心力的來源求出每經(jīng)過半個(gè)周期拉力的大小的表達(dá)式，以及每半個(gè)周期時(shí)間的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)分析求解總時(shí)間

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律可知：
$F=\frac{m{v}^{2}}{L}=\frac{0.5×{2}^{2}}{1}N=2N$
（2）圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：
T=$\frac{2πL}{v}=\frac{2π×1}{2}s=πs$
（3）在小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，由于細(xì)繩不斷纏在A、B上，其軌道半徑逐漸減�。�
小球受到的繩子的拉力提供向心力，即F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，且F隨R的減小而增大，而運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期 t=$\frac{πr}{\;}v$隨繩長(zhǎng)的減小而減�。�推算出每個(gè)半周期的時(shí)間及周期數(shù)，就可求出總時(shí)間．根據(jù)繩子能承受的最大拉力，可求出細(xì)繩拉斷所經(jīng)歷的時(shí)間．
設(shè)AB間距離為d．
在第一個(gè)半周期內(nèi)：F₁=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，t₁=$\frac{πL}{v}$
在第二個(gè)半周期內(nèi)：F₂=m$\frac{{v}^{2}}{L-d}$，t₂=$\frac{π（L-d）}{v}$
在第三個(gè)半周期內(nèi)：F₃=m$\frac{{v}^{2}}{L-2d}$，t₃=$\frac{π（L-2d）}{v}$
…
依此類推，在第n個(gè)半周期內(nèi)：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{L-（n-1）d}$，t₃=$\frac{π[L-（n-1）d]}{v}$
由于$\frac{L}vstslgr=\frac{1}{0.1}=10$，所以n≤10
設(shè)在第x個(gè)半周期時(shí)：F_x=4.1N
由F_x=m$\frac{{v}^{2}}{L-（x-1）d}$代入數(shù)據(jù)得：
4.1=0.5×$\frac{{2}^{2}}{1-（x-1）×0.1}$
解得：x=5.2，取x=5．
代入第1題表達(dá)式得：t=t₁+t₂+t₃+…+t₅=$\frac{π（5L-d-2d-3d-4d）}{v}$=7.07s
答：（1）剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)小球受到的拉力大小為2N
（2）小球剛開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期大小為πs
（3）從小球開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)繩斷所用的時(shí)間為7.07s

點(diǎn)評(píng) 本題是物理數(shù)列類型，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，通過數(shù)學(xué)知識(shí)求出拉力和時(shí)間的通項(xiàng)表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．